In wiskunde is die helling of gradiënt van 'n lyn 'n getal wat beide die rigting en die steilheid van die lyn beskryf (skreeu Wikipedia). Dit word bereken deur die verhouding van die verandering in die y-koördinaat tot die verandering in die x-koördinaat tussen twee afsonderlike punte op die lyn te vind.

Byvoorbeeld, as jy twee punte op 'n lyn het, (1,2) en (3,4), is die helling van die lyn tussen hulle (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Ons sal gou genoeg hierby uitkom.

Helling is 'n belangrike konsep in wiskunde en het baie werklike toepassings. Dit kan byvoorbeeld gebruik word om die spoed van 'n voorwerp, die tempo van verandering van 'n funksie of die steilheid van 'n heuwel te bereken.

In die werklike wêreld word helling gebruik in verskeie velde soos geografie, siviele ingenieurswese, argitektuur en fisika. In geografie word helling gebruik om die steilte van die grond se oppervlak te beskryf. Dit word gebruik om oppervlakafloop te modelleer, habitat te karakteriseer, gronde te klassifiseer, die potensiaal vir ontwikkeling te assesseer en veldbrandrisiko te modelleer.

In siviele ingenieurswese word helling gebruik om paaie, brûe en ander strukture te ontwerp. Dit word gebruik om die beste manier te bepaal om 'n projek te voltooi en rolstoelopritte, paaie en trappe te bou.

In argitektuur word helling gebruik om geboue en strukture te ontwerp wat stabiel en veilig is. In fisika word helling gebruik om die snelheid van 'n voorwerp oor tyd te beskryf.

Ek bedoel praat van belangrikheid …

Basiese konsepte van helling

Helling word bereken as die verhouding van die vertikale verandering (styging) tot die horisontale verandering (loop) tussen twee punte op 'n lyn.

Die hellingsformule word uitgedruk as m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

In die formule hierbo is daar twee punte, nou het elke punt beide die ooreenstemmende y-klep en x-waarde. Die koördinaat van punt1 is (x1, y1) en dié van punt2 is (x2, y2) soos in die figuur hierbo getoon.

Daar is vier tipes hellings: positief, negatief, nul en ongedefinieerd.

'n Positiewe helling dui aan dat die lyn van links na regs toeneem, terwyl 'n negatiewe helling aandui dat die lyn van links na regs afneem.

'n Nulhelling dui aan dat die lyn horisontaal is, terwyl 'n ongedefinieerde helling aandui dat die lyn vertikaal is.

Die diagram hieronder illustreer die verskillende tipes hellings:

Berekening van helling: stap-vir-stap gids

In hierdie afdeling gaan ons deur die stap-vir-stap gids oor hoe om helling te bereken

Hieronder is 'n stap-vir-stap gids oor hoe om helling te bereken:

1. Identifiseer twee punte op die lyn.
2. Kies een punt om te wees (x1, y1) en die ander om te wees (x2, y2).
3. Vind die vertikale verandering (styging) deur die y-koördinate van die twee punte af te trek.
4. Vind die horisontale verandering (loop) deur die x-koördinate van die twee punte af te trek.
5. Deel die vertikale verandering deur die horisontale verandering (styging oor lopie) om die helling te kry.

Hier is 'n voorbeeld om die bogenoemde stappe te illustreer:

Gestel ons het twee punte op 'n lyn, (1, 2) en (3, 6).

Ons kan die helling van die lyn soos volg bereken:

1. Identifiseer twee punte op die lyn: (1, 2) en (3, 6).
2. Kies een punt om te wees (x1, y1) en die ander om te wees (x2, y2): Kom ons kies (1, 2) as (x1, y1) en (3, 6) as (x2, y2).
3. Vind die vertikale verandering (styging) deur die y-koördinate van die twee punte af te trek: 6 - 2 = 4.
4. Vind die horisontale verandering (loop) deur die x-koördinate van die twee punte af te trek: 3 - 1 = 2.
5. Deel die vertikale verandering deur die horisontale verandering (styging oor lopie) om die helling te kry: 4 / 2 = 2.

Daarom is die Helling 2. Dws positiewe helling

Hier is nog 'n voorbeeld om die bogenoemde stappe te illustreer:

Gestel ons het twee punte op 'n lyn, (3, 7) en (1, 10).

Ons kan die helling van die lyn soos volg bereken:

1. Identifiseer twee punte op die lyn: (3, 7) en (1, 10).
2. Kies een punt om te wees (x1, y1) en die ander om te wees (x2, y2): Kom ons kies (3, 7) as (x1, y1) en (1, 10) as (x2, y2).
3. Vind die vertikale verandering (styging) deur die y-koördinate van die twee punte af te trek: 10 - 7 = 3.
4. Vind die horisontale verandering (loop) deur die x-koördinate van die twee punte af te trek: 1 – 3 = -2.
5. Deel die vertikale verandering deur die horisontale verandering (styging oor lopie) om die helling te kry: 3 / -2 = -1.5.

Daarom is die Helling -1.5. Dws negatiewe helling.

Hier is 'n paar wenke om algemene foute te vermy wanneer die helling bereken word:

1. Verstaan ​​die konsep van helling: Helling word bereken as die verhouding van die verandering in y tot die verandering in x. 'n Positiewe helling dui op 'n opwaartse neiging, terwyl 'n negatiewe helling 'n afwaartse neiging aandui.
2. Gaan jou berekeninge dubbel na: Hellingberekeninge kan lastig wees, daarom is dit belangrik om jou werk dubbel na te gaan. Maak seker dat jy die korrekte waardes vir die verandering in y en die verandering in x het, en dat jy hulle korrek verdeel het.
3. Gebruik maak van Helling sakrekenaar: Maak gebruik van helling sakrekenaar sal foute aansienlik verminder.

Hier is 'n Helling sakrekenaar wat jy kan gebruik om die helling of gradiënt tussen twee punte in die Cartesiese koördinaatstelsel te bereken. 

Al wat jy hoef te doen wanneer jy hierdie helling sakrekenaar gebruik, is om die waarde van x1, x2, y1, y2 in te voer. 

Die sakrekenaar sal outomaties die helling, die vergelyking van die lyn, die styging, die hardloop, die afstand tussen die twee punte, en vele meer bereken, jy hoef nie twee keer te knip nie.

Helling in Meetkunde

Soos ons vroeër gesê het, is Helling 'n maatstaf van die steilheid van 'n lyn.

In driehoeke kan die helling van 'n lyn gebruik word om die hoek tussen die lyn en die x-as te bereken

Die helling van 'n lyn kan ook gebruik word om te bepaal of twee lyne parallel of loodreg is. Twee lyne is parallel as hulle dieselfde helling het, en hulle is loodreg as hul hellings negatiewe wederkeriges van mekaar is.

Regte-wêreld toepassings

• Konstruksie en Argitektuur: Hellingsberekeninge word gebruik in die ontwerp van opritte, trappe en dakke. Die helling van 'n dak, byvoorbeeld, bepaal hoeveel materiaal gebruik sal word om die dak te bou asook die werkverrigting van die dak.

• Fisika: Hellingsberekeninge word in beweging- en kragdiagramme gebruik. Byvoorbeeld, die helling van 'n posisie-tyd grafiek gee die snelheid van 'n voorwerp.
• Ekonomie: Hellingsberekeninge word gebruik om tendense te verstaan. Byvoorbeeld, die helling van 'n vraagkromme gee die tempo waarteen die hoeveelheid gevra verander met betrekking tot prys.

Interaktiewe voorbeelde en oefeninge

Hierdie afdeling bied 'n stel interaktiewe voorbeelde en oefeninge om jou begrip van hellingberekeninge te help versterk.

Probleem 1:

Beskou twee punte op 'n koördinaatvlak: ( A(2, 5) ) en ( B(4, 9) ). Bereken die helling van die lyn wat deur hierdie punte gaan deur die hellingsformule te gebruik.

Oplossing:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

Probleem 2:

Gegee twee punte ( C(3, 8) ) en ( D(7, 2) ), bereken die helling van die lyn wat deur hierdie punte gaan deur die hellingsformule te gebruik.

Oplossing:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

Werklike scenario's

Scenario 1: Oprit ontwerp

Stel jou voor dat jy 'n argitek is wat die taak het om 'n rolstoeloprit vir 'n gebou se ingang te ontwerp. Gebruik hellingberekeninge om die optimale helling vir toeganklikheid te bepaal terwyl aan veiligheidstandaarde voldoen word.

Scenario 2: Ekonomiese tendense

As 'n finansiële ontleder, ontleed 'n stel ekonomiese datapunte oor tyd en bereken die helling om tendense te identifiseer. Hoe kan hierdie inligting waardevol wees om ingeligte voorspellings te maak?

Nou is die bal joune om te skiet, deel jou oplossings of maniere waarop jy hellingberekeninge in jou lewe toegepas het. Of dit nou is om jou tuin te herontwerp, of om 'n glas water te drink.

Voel vry om jou oplossings in te dien of jou ervarings te deel.

Gevolgtrekking

Ons het aan die einde van hierdie artikel gekom, laat ons die sleutelpunte wat in hierdie artikel geskryf is, opsom

Belangrike punte:

• Helling meet die steilheid van 'n lyn en is deurslaggewend in wiskunde en verskeie werklike toepassings.
• Die hellingformule (m = {y2 – y1} / {x2 – x1})
• Die 4 tipes Hellings is; Positiewe, negatiewe, nul- en ongedefinieerde hellings en elkeen dra unieke inligting oor die kenmerke van 'n lyn oor.
• In die regte wêreld word helling in verskeie velde soos geografie, siviele ingenieurswese, argitektuur en fisika gebruik.