У матэматыцы нахіл або градыент лініі - гэта лічба, якая апісвае як кірунак, так і крутасць лініі (крычыць Вікіпедыя). Ён разлічваецца шляхам вызначэння адносіны змены каардынаты y да змены каардынаты x паміж дзвюма рознымі кропкамі на прамой.

Напрыклад, калі на лініі ёсць дзве кропкі (1,2) і (3,4), нахіл лініі паміж імі роўны (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Мы дойдзем да гэтага досыць хутка.

Нахіл з'яўляецца важным паняццем у матэматыцы і мае мноства прымянення ў рэальным свеце. Напрыклад, яго можна выкарыстоўваць для разліку хуткасці аб'екта, хуткасці змены функцыі або крутасці ўзгорка.

У рэальным свеце нахіл выкарыстоўваецца ў розных галінах, такіх як геаграфія, грамадзянскае будаўніцтва, архітэктура і фізіка. У геаграфіі нахіл выкарыстоўваецца для апісання крутасці паверхні зямлі. Ён выкарыстоўваецца для мадэлявання павярхоўнага сцёку, характарыстыкі асяроддзя пражывання, класіфікацыі глеб, ацэнкі патэнцыялу развіцця і мадэлявання рызыкі лясных пажараў.

У грамадзянскім будаўніцтве ўхіл выкарыстоўваецца для праектавання дарог, мастоў і іншых збудаванняў. Ён выкарыстоўваецца для вызначэння найлепшага спосабу выканання праекта і будаўніцтва пандусаў, дарог і лесвіц для інвалідных калясак.

У архітэктуры ўхіл выкарыстоўваецца для праектавання ўстойлівых і бяспечных будынкаў і збудаванняў. У фізіцы нахіл выкарыстоўваецца для апісання хуткасці аб'екта ў часе.

Я маю на ўвазе важнасць...

Асноўныя паняцці пра склон

Нахіл разлічваецца як стаўленне вертыкальнай змены (ўздыму) да гарызантальнай змены (разбегу) паміж дзвюма кропкамі на лініі.

Формула нахілу выражаецца як m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

У прыведзенай вышэй формуле ёсць дзве кропкі, цяпер кожная кропка мае адпаведны клапан y і значэнне x. Каардыната пункта 1 роўная (x1, y1), а каардыната пункта 2 роўная (x2, y2), як паказана на малюнку вышэй.

Ёсць чатыры тыпу склонаў: станоўчы, адмоўны, нулявы і нявызначаны.

Станоўчы нахіл паказвае, што лінія павялічваецца злева направа, у той час як адмоўны нахіл паказвае, што лінія памяншаецца злева направа.

Нулявы нахіл паказвае, што лінія гарызантальная, у той час як нявызначаны нахіл паказвае, што лінія вертыкальная.

Схема ніжэй паказвае розныя тыпы схілаў:

Разлік нахілу: пакрокавае кіраўніцтва

У гэтым раздзеле мы разгледзім пакрокавае кіраўніцтва па разліку ўхілу

Ніжэй прыводзіцца пакрокавая інструкцыя па разліку ўхілу:

1. Вызначце дзве кропкі на прамой.
2. Выберыце адну кропку быць (x1, y1), а другую - быць (x2, y2).
3. Знайдзіце вертыкальнае змяненне (ўздым), адняўшы каардынаты y дзвюх кропак.
4. Знайдзіце гарызантальнае змяненне (прабег), адняўшы х-каардынаты дзвюх кропак.
5. Падзяліце вертыкальную змену на гарызантальную (пад'ём над прабегам), каб атрымаць нахіл.

Вось прыклад для ілюстрацыі вышэйзгаданых крокаў:

Выкажам здагадку, што на прамой ёсць дзве кропкі (1, 2) і (3, 6).

Мы можам вылічыць нахіл лініі наступным чынам:

1. Вызначце дзве кропкі на лініі: (1, 2) і (3, 6).
2. Выберыце адну кропку як (x1, y1), а другую як (x2, y2): Давайце абярэм (1, 2) як (x1, y1) і (3, 6) як (x2, y2).
3. Знайдзіце вертыкальнае змяненне (пад'ём), адняўшы каардынаты y дзвюх кропак: 6 – 2 = 4.
4. Знайдзіце гарызантальнае змяненне (прабег), адняўшы х-каардынаты дзвюх кропак: 3 – 1 = 2.
5. Падзяліце вертыкальнае змяненне на гарызантальнае змяненне (пад'ём над ходам), каб атрымаць нахіл: 4 2/2 XNUMX = XNUMX.

Такім чынам, нахіл роўны 2. Гэта значыць станоўчы нахіл

Вось яшчэ адзін прыклад для ілюстрацыі вышэйзгаданых крокаў:

Выкажам здагадку, што на прамой ёсць дзве кропкі (3, 7) і (1, 10).

Мы можам вылічыць нахіл лініі наступным чынам:

1. Вызначце дзве кропкі на лініі: (3, 7) і (1, 10).
2. Выберыце адну кропку як (x1, y1), а другую як (x2, y2): Давайце абярэм (3, 7) як (x1, y1) і (1, 10) як (x2, y2).
3. Знайдзіце вертыкальнае змяненне (пад'ём), адняўшы каардынаты y дзвюх кропак: 10 – 7 = 3.
4. Знайдзіце гарызантальнае змяненне (прабег), адняўшы х-каардынаты дзвюх кропак: 1 – 3 = -2.
5. Падзяліце вертыкальнае змяненне на гарызантальнае змяненне (пад'ём над ходам), каб атрымаць нахіл: 3 / -2 = -1.5.

Такім чынам, нахіл роўны -1.5. Гэта значыць адмоўны склон.

Вось некалькі парад, каб пазбегнуць распаўсюджаных памылак пры разліку ўхілу:

1. Зразумець паняцце склону: Нахіл разлічваецца як стаўленне змены y да змены x. Станоўчы нахіл паказвае на ўзыходзячую тэндэнцыю, у той час як адмоўны нахіл паказвае на сыходную тэндэнцыю.
2. Яшчэ раз праверце свае разлікі: Разлікі нахілу могуць быць складанымі, таму важна пераправерыць сваю працу. Пераканайцеся, што ў вас ёсць правільныя значэнні для змены y і змены x, і што вы правільна іх падзялілі.
3. выкарыстоўваць Калькулятар нахілу: Выкарыстанне калькулятар нахілу значна паменшыць колькасць памылак.

Вось Калькулятар нахілу які можна выкарыстоўваць для разліку нахілу або градыенту паміж дзвюма кропкамі ў дэкартавай сістэме каардынат. 

Усё, што вам трэба зрабіць пры выкарыстанні гэтага калькулятара нахілу, - гэта ўвесці значэнне x1, x2, y1, y2. 

Калькулятар аўтаматычна разлічыць нахіл, ураўненне лініі, уздым, бег, адлегласць паміж дзвюма кропкамі і многае іншае, вам не трэба міргаць двойчы.

Нахіл у геаметрыі

Як мы ўжо казалі раней, нахіл - гэта мера крутасці лініі.

У трохвугольніках нахіл лініі можна выкарыстоўваць для вылічэння вугла паміж лініяй і воссю х

Нахіл лініі таксама можна выкарыстоўваць, каб вызначыць, паралельныя або перпендыкулярныя дзве лініі. Дзве прамыя паралельныя, калі яны маюць аднолькавы нахіл, і перпендыкулярныя, калі іх нахілы адмоўныя, зваротныя адзін аднаму.

Рэальныя прыкладанні

• Будаўніцтва і архітэктура: Разлікі ўхілаў выкарыстоўваюцца пры праектаванні пандусаў, лесвіц і дахаў. Нахіл даху, напрыклад, вызначае, колькі матэрыялу будзе выкарыстана для будаўніцтва даху, а таксама характарыстыкі даху.

• Фізіка: Разлік нахілу выкарыстоўваецца ў дыяграмах руху і сілы. Напрыклад, нахіл графіка становішча-час дае хуткасць аб'екта.
• эканоміка: Разлікі нахілу выкарыстоўваюцца для разумення тэндэнцый. Напрыклад, нахіл крывой попыту дае хуткасць, з якой запатрабаваная колькасць змяняецца ў залежнасці ад цаны.

Інтэрактыўныя прыклады і практыкаванні

У гэтым раздзеле прапануецца набор інтэрактыўных прыкладаў і практыкаванняў, якія дапамогуць замацаваць ваша разуменне разлікаў нахілу.

Праблема 1:

Разгледзім два пункты на каардынатнай плоскасці: ( A(2, 5) ) і ( B(4, 9) ). Вылічыце нахіл прамой, якая праходзіць праз гэтыя кропкі, выкарыстоўваючы формулу нахілу.

Рашэнне:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

Праблема 2:

Дадзены два пункты ( C(3, 8) ) і ( D(7, 2) ), вылічыце нахіл прамой, якая праходзіць праз гэтыя пункты, выкарыстоўваючы формулу нахілу.

Рашэнне:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6) / (4) = -1.5

Сцэнарыі з рэальнага жыцця

Сцэнар 1: Дызайн рампы

Уявіце, што вы архітэктар, якому даручана спраектаваць пандус для інвалідных калясак для ўваходу ў будынак. Выкарыстоўвайце разлікі ўхілу, каб вызначыць аптымальны ўхіл для даступнасці пры захаванні стандартаў бяспекі.

Сцэнар 2: Эканамічныя тэндэнцыі

Як фінансавы аналітык, аналізуйце набор эканамічных даных з цягам часу і вылічвайце нахіл, каб вызначыць тэндэнцыі. Наколькі гэтая інфармацыя можа быць карыснай для абгрунтаваных прагнозаў?

Цяпер вы можаце страляць па мячы. Падзяліцеся сваімі рашэннямі або тым, як вы прымянялі разлікі нахілу ў сваім жыцці. Няхай гэта будзе рэдызайн вашага саду або выпіванне шклянкі вады.

Не саромейцеся адпраўляць свае рашэнні або дзяліцца вопытам.

заключэнне

Мы падышлі да канца гэтага артыкула, давайце падвядзем асноўныя моманты, напісаныя ў гэтым артыкуле

Ключавыя моманты:

• Нахіл вымярае крутасць лініі і мае вырашальнае значэнне ў матэматыцы і розных рэальных праграмах.
• Формула нахілу ( m = {y2 – y1} / {x2 – x1} )
• 4 тыпу схілаў; Станоўчы, адмоўны, нулявы і нявызначаны склоны, кожны з якіх перадае унікальную інфармацыю аб характарыстыках лініі.
• У рэальным свеце нахіл выкарыстоўваецца ў розных галінах, такіх як геаграфія, грамадзянскае будаўніцтва, архітэктура і фізіка.