A matematikában egy vonal meredeksége vagy gradiense olyan szám, amely leírja a vonal irányát és meredekségét is (üvölti a Wikipédia). Kiszámítása az y-koordináta változásának és az x-koordináta változásának arányának meghatározásával történik az egyenes két különböző pontja között.

Például, ha egy egyenesen két pont van, (1,2) és (3,4), akkor a közöttük lévő egyenes meredeksége (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Hamarosan ráérünk erre.

A lejtő fontos fogalom a matematikában, és számos valós alkalmazással rendelkezik. Használható például egy objektum sebességének, egy függvény változási sebességének vagy egy domb meredekségének kiszámítására.

A való világban a lejtőt különféle területeken használják, például a földrajzban, az építőmérnöki munkában, az építészetben és a fizikában. A földrajzban a lejtőt a talajfelszín meredekségének leírására használják. Felszíni lefolyás modellezésére, élőhely jellemzésére, talajok osztályozására, fejlődési potenciál felmérésére és erdőtűz-kockázat modellezésére használják.

A mélyépítésben a lejtőt utak, hidak és egyéb építmények tervezésére használják. Egy projekt befejezésének, valamint kerekesszékes rámpák, utak és lépcsők építésének legjobb módjának meghatározására szolgál.

Az építészetben a lejtőt olyan épületek és építmények tervezésére használják, amelyek stabilak és biztonságosak. A fizikában a meredekséget egy objektum időbeli sebességének leírására használják.

Mármint a fontosságról beszélek…

A lejtő alapfogalmai

A meredekség kiszámítása a függőleges változás (emelkedés) és a vízszintes változás (futás) aránya egy egyenes két pontja között.

A meredekség képletét a következőképpen fejezzük ki: m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

A fenti képletben két pont van, most mindegyik pont rendelkezik a megfelelő y szeleppel és x értékkel is. Az 1. pont koordinátája (x1, y1), a 2. ponté pedig (x2, y2) a fenti ábrán látható módon.

Négyféle meredekség létezik: pozitív, negatív, nulla és meghatározatlan.

A pozitív meredekség azt jelzi, hogy a vonal balról jobbra növekszik, míg a negatív meredekség azt jelzi, hogy a vonal balról jobbra csökken.

A nulla lejtő azt jelzi, hogy a vonal vízszintes, míg a meghatározatlan lejtő azt jelzi, hogy a vonal függőleges.

Az alábbi diagram a különböző típusú lejtőket szemlélteti:

Meredekség kiszámítása: lépésről lépésre

Ebben a részben lépésről lépésre végignézzük a lejtés kiszámításának útmutatóját

Az alábbiakban egy lépésről lépésre található útmutató a lejtő kiszámításához:

1. Határozzon meg két pontot a vonalon.
2. Válassza ki, hogy az egyik pont legyen (x1, y1), a másik pedig (x2, y2).
3. Keresse meg a függőleges változást (emelkedést) a két pont y-koordinátáinak kivonásával.
4. Keresse meg a vízszintes változást (futást) a két pont x-koordinátájának kivonásával.
5. Ossza el a függőleges változást a vízszintes változással (futás felett), hogy megkapja a lejtőt.

Íme egy példa a fenti lépések illusztrálására:

Tegyük fel, hogy egy egyenesen két pont van: (1, 2) és (3, 6).

A vonal meredekségét a következőképpen számíthatjuk ki:

1. Határozzon meg két pontot a vonalon: (1, 2) és (3, 6).
2. Válassza ki, hogy az egyik pont legyen (x1, y1), a másik pedig (x2, y2): Válasszunk (1, 2) mint (x1, y1) és (3, 6) mint (x2, y2).
3. Keresse meg a függőleges változást (emelkedést) a két pont y-koordinátáinak kivonásával: 6 - 2 = 4.
4. Keresse meg a vízszintes változást (futást) a két pont x-koordinátájának kivonásával: 3 - 1 = 2.
5. Ossza el a függőleges változást a vízszintes változással (futás felett), hogy megkapja a lejtőt: 4 2/2 XNUMX = XNUMX.

Ezért a meredekség 2. Azaz pozitív meredekség

Íme egy másik példa a fenti lépések illusztrálására:

Tegyük fel, hogy egy egyenesen két pont van: (3, 7) és (1, 10).

A vonal meredekségét a következőképpen számíthatjuk ki:

1. Határozzon meg két pontot a vonalon: (3, 7) és (1, 10).
2. Válassza ki, hogy az egyik pont legyen (x1, y1), a másik pedig (x2, y2): Válasszunk (3, 7) mint (x1, y1) és (1, 10) mint (x2, y2).
3. Keresse meg a függőleges változást (emelkedést) a két pont y-koordinátáinak kivonásával: 10 - 7 = 3.
4. Keresse meg a vízszintes változást (futást) a két pont x-koordinátájának kivonásával: 1 – 3 = -2.
5. Ossza el a függőleges változást a vízszintes változással (futás felett), hogy megkapja a lejtőt: 3/-2 = -1.5.

Ezért a meredekség -1.5. Azaz negatív meredekség.

Íme néhány tipp, amellyel elkerülheti a gyakori hibákat a meredekség kiszámításakor:

1. Ismerje meg a lejtő fogalmát: A meredekség az y változásának és x változásának arányaként kerül kiszámításra. A pozitív lejtő emelkedő, a negatív lejtő pedig csökkenő tendenciát jelez.
2. Ellenőrizze még egyszer a számításait: A lejtőszámítások bonyolultak lehetnek, ezért fontos, hogy kétszer is ellenőrizze a munkáját. Győződjön meg arról, hogy az y és az x változásának megfelelő értékei vannak, és helyesen osztotta fel őket.
3. Kihasználni Lejtős kalkulátor: A lejtő kalkulátor nagyban csökkenti a hibákat.

Itt egy Lejtős kalkulátor amelyek segítségével kiszámíthatja a derékszögű koordinátarendszer két pontja közötti meredekséget vagy gradienst. 

A meredekségkalkulátor használatakor mindössze annyit kell tennie, hogy beírja az x1, x2, y1, y2 értékét. 

A számológép automatikusan kiszámítja a meredekséget, az egyenes egyenletét, az emelkedést, a futást, a két pont közötti távolságot és még sok mást, nem kell kétszer pislogni.

Lejtése a geometriában

Ahogy korábban említettük, a lejtő a vonal meredekségének mértéke.

Háromszögeknél az egyenes meredeksége felhasználható az egyenes és az x tengely közötti szög kiszámítására

Egy egyenes meredeksége arra is használható, hogy meghatározzuk, hogy két egyenes párhuzamos vagy merőleges-e. Két egyenes párhuzamos, ha azonos a meredeksége, és merőlegesek, ha meredekségeik egymás negatív reciprokjai.

Valós alkalmazások

• Építőipar és építészet: A lejtésszámításokat rámpák, lépcsők és tetők tervezésénél használják. A tető hajlásszöge például meghatározza, hogy mennyi anyagot használnak fel a tető építéséhez, valamint a tető teljesítményét.

• Fizika: A lejtésszámításokat mozgás- és erődiagramokban használják. Például egy pozíció-idő grafikon meredeksége megadja egy objektum sebességét.
• Közgazdaságtan: A lejtésszámításokat a trendek megértésére használják. Például egy keresleti görbe meredeksége azt a sebességet adja meg, amellyel a keresett mennyiség az árhoz képest változik.

Interaktív példák és gyakorlatok

Ez a rész interaktív példákat és gyakorlatokat kínál, amelyek segítik a lejtőszámítások megértését.

1 probléma:

Tekintsünk két pontot egy koordinátasíkon: ( A(2, 5) ) és ( B(4, 9) ). Számítsa ki az ezeken a pontokon átmenő egyenes meredekségét a meredekségképlet segítségével!

Megoldás:

m = (9–5) / (4–2) = (4)/(2) = 2

2 probléma:

Adott két pont ( C(3, 8) ) és ( D(7, 2) ), számítsuk ki az ezeken a pontokon átmenő egyenes meredekségét a meredekség képlettel!

Megoldás:

m = (2-8) / (7-3) = (-6)/(4) = -1.5

Valós forgatókönyvek

1 forgatókönyv: Rámpa tervezés

Képzelje el, hogy Ön egy építész, akinek feladata egy tolószékes rámpa tervezése az épület bejáratához. Használjon lejtőszámításokat a hozzáférhetőség optimális lejtésének meghatározásához, miközben betartja a biztonsági előírásokat.

2 forgatókönyv: Gazdasági trendek

Pénzügyi elemzőként elemezzen egy sor gazdasági adatpontot az idő függvényében, és számítsa ki a meredekséget a trendek azonosításához. Hogyan lehet ez az információ értékes a megalapozott előrejelzések készítéséhez?

Most már a tiéd a labda, és lődd meg. Oszd meg megoldásaidat vagy a lejtőszámításokat az életedben. Legyen szó a kert újratervezéséről, vagy egy pohár víz megivásáról.

Nyugodtan küldje el megoldásait, vagy ossza meg tapasztalatait.

Következtetés

Elérkeztünk a cikk végéhez, gyűjtsük össze a cikkben leírt legfontosabb pontokat

Főbb pontok:

• A Slope egy vonal meredekségét méri, és kulcsfontosságú a matematikában és a különféle valós alkalmazásokban.
• A meredekség képlete ( m = {y2 – y1} / {x2 – x1} )
• A 4 féle lejtő; Pozitív, negatív, nulla és meghatározatlan lejtők, és mindegyik egyedi információt közvetít egy vonal jellemzőiről.
• A való világban a lejtőt különféle területeken használják, például a földrajzban, az építőmérnöki munkában, az építészetben és a fizikában.