Մաթեմատիկայի մեջ գծի թեքությունը կամ գրադիենտը մի թիվ է, որը նկարագրում է գծի և՛ ուղղությունը, և՛ թեքությունը (գոռում է Վիքիպեդիան): Այն հաշվարկվում է՝ գտնելով y կոորդինատի փոփոխության հարաբերակցությունը գծի երկու տարբեր կետերի միջև x կոորդինատի փոփոխությանը:

Օրինակ, եթե դուք ունեք երկու կետ գծի վրա՝ (1,2) և (3,4), ապա նրանց միջև գծի թեքությունը (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1 է։ Մենք շուտով կհասնենք դրան:

Լանջը մաթեմատիկայի կարևոր հասկացություն է և ունի բազմաթիվ կիրառություններ իրական աշխարհում: Օրինակ, այն կարող է օգտագործվել օբյեկտի արագությունը, ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը կամ բլրի զառիթափությունը հաշվարկելու համար:

Իրական աշխարհում թեքությունը օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են աշխարհագրությունը, ինժեներությունը, ճարտարապետությունը և ֆիզիկան: Աշխարհագրության մեջ թեքությունն օգտագործվում է գետնի մակերեսի կտրուկությունը նկարագրելու համար։ Այն օգտագործվում է մակերևութային արտահոսքի մոդելավորման, աճելավայրերի բնութագրման, հողերի դասակարգման, զարգացման ներուժը գնահատելու և անտառային հրդեհների ռիսկի մոդելավորման համար:

Քաղաքացիական ճարտարագիտության մեջ թեքությունն օգտագործվում է ճանապարհների, կամուրջների և այլ կառույցների նախագծման համար։ Այն օգտագործվում է նախագիծն ավարտելու լավագույն միջոցը որոշելու և հաշմանդամի սայլակների թեքահարթակների, ճանապարհների և աստիճանների կառուցման համար:

Ճարտարապետության մեջ թեքությունն օգտագործվում է կայուն և անվտանգ շենքերի և շինությունների նախագծման համար: Ֆիզիկայի մեջ թեքությունն օգտագործվում է ժամանակի ընթացքում օբյեկտի արագությունը նկարագրելու համար։

Ես նկատի ունեմ խոսելու կարևորության մասին…

Լանջի հիմնական հասկացությունները

Լանջը հաշվարկվում է որպես ուղղահայաց փոփոխության (բարձրացման) հարաբերակցությունը հորիզոնական փոփոխության (վազք) գծի երկու կետերի միջև:

Լանջի բանաձևը արտահայտվում է m = (y2 – y1) / (x2 – x1):

Վերևի բանաձևում կա երկու կետ, այժմ յուրաքանչյուր կետ ունի և՛ համապատասխան y փական, և՛ x արժեք: 1-ին կետի կոորդինատն է (x1, y1), իսկ 2-ինը՝ (x2, y2), ինչպես ցույց է տրված վերևի նկարում:

Կան չորս տեսակի թեքություններ՝ դրական, բացասական, զրոյական և չսահմանված:

Դրական թեքությունը ցույց է տալիս, որ գիծը մեծանում է ձախից աջ, իսկ բացասական թեքությունը ցույց է տալիս, որ գիծը նվազում է ձախից աջ:

Զրոյական թեքությունը ցույց է տալիս, որ գիծը հորիզոնական է, մինչդեռ չսահմանված թեքությունը ցույց է տալիս, որ գիծը ուղղահայաց է:

Ստորև բերված դիագրամը ցույց է տալիս լանջերի տարբեր տեսակներ.

Լանջի հաշվարկ. քայլ առ քայլ ուղեցույց

Այս բաժնում մենք կանցկացնենք քայլ առ քայլ ուղեցույցը, թե ինչպես հաշվարկել թեքությունը

Ստորև բերված է քայլ առ քայլ ուղեցույց, թե ինչպես հաշվարկել թեքությունը.

1. Առանձնացրե՛ք գծի երկու կետերը:
2. Ընտրեք մի կետ, որպեսզի լինի (x1, y1), իսկ մյուսը լինի (x2, y2):
3. Գտե՛ք ուղղահայաց փոփոխությունը (բարձրացումը)՝ հանելով երկու կետերի y կոորդինատները:
4. Գտե՛ք հորիզոնական փոփոխությունը (վազք)՝ հանելով երկու կետերի x կոորդինատները։
5. Ուղղահայաց փոփոխությունը բաժանեք հորիզոնական փոփոխության վրա (բարձրանալ վազքի վրա)՝ թեքություն ստանալու համար:

Ահա մի օրինակ՝ վերը նշված քայլերը լուսաբանելու համար.

Ենթադրենք, մենք ունենք երկու կետ ուղիղի վրա՝ (1, 2) և (3, 6):

Մենք կարող ենք հաշվարկել գծի թեքությունը հետևյալ կերպ.

1. Առանձնացրեք գծի երկու կետ. (1, 2) և (3, 6):
2. Ընտրեք մի կետ, որպեսզի լինի (x1, y1), իսկ մյուսը լինի (x2, y2): Եկեք ընտրենք (1, 2) որպես (x1, y1) և (3, 6) որպես (x2, y2):
3. Գտե՛ք ուղղահայաց փոփոխությունը (բարձրացում)՝ հանելով երկու կետերի y կոորդինատները. 6 - 2 = 4:
4. Գտե՛ք հորիզոնական փոփոխությունը (վազք)՝ հանելով երկու կետերի x կոորդինատները. 3 - 1 = 2:
5. Ուղղահայաց փոփոխությունը բաժանեք հորիզոնական փոփոխության վրա (բարձրանալ վազքի վրա)՝ թեքություն ստանալու համար. 4 / 2 = 2:

Հետևաբար, թեքությունը 2 է. Այսինքն՝ դրական թեքություն

Ահա ևս մեկ օրինակ՝ վերը նշված քայլերը լուսաբանելու համար.

Ենթադրենք, մենք ունենք երկու կետ ուղիղի վրա՝ (3, 7) և (1, 10):

Մենք կարող ենք հաշվարկել գծի թեքությունը հետևյալ կերպ.

1. Առանձնացրեք գծի երկու կետ. (3, 7) և (1, 10):
2. Ընտրեք մի կետ, որպեսզի լինի (x1, y1), իսկ մյուսը լինի (x2, y2): Եկեք ընտրենք (3, 7) որպես (x1, y1) և (1, 10) որպես (x2, y2):
3. Գտե՛ք ուղղահայաց փոփոխությունը (բարձրացում)՝ հանելով երկու կետերի y կոորդինատները. 10 - 7 = 3:
4. Գտե՛ք հորիզոնական փոփոխությունը (վազք)՝ հանելով երկու կետերի x կոորդինատները. 1 – 3 = -2:
5. Ուղղահայաց փոփոխությունը բաժանեք հորիզոնական փոփոխության վրա (բարձրանալ վազքի վրա)՝ թեքություն ստանալու համար. 3 / -2 = -1.5:

Հետևաբար, թեքությունը -1.5 է: Այսինքն բացասական թեքություն:

Ահա մի քանի խորհուրդ՝ թեքությունը հաշվարկելիս սովորական սխալներից խուսափելու համար.

1. Հասկացեք թեքության հասկացությունըԼանջը հաշվարկվում է որպես y-ի փոփոխության հարաբերակցություն x-ի փոփոխությանը: Դրական լանջը ցույց է տալիս աճի միտում, իսկ բացասական լանջը ցույց է տալիս նվազման միտում:
2. Կրկնակի ստուգեք ձեր հաշվարկներըԼանջերի հաշվարկները կարող են բարդ լինել, ուստի կարևոր է կրկնակի ստուգել ձեր աշխատանքը: Համոզվեք, որ ունեք y-ի և x-ի փոփոխության ճիշտ արժեքները, և որ դրանք ճիշտ եք բաժանել:
3. Օգտագործեք Լանջերի հաշվիչ: Օգտագործելով թեքության հաշվիչ զգալիորեն կնվազեցնի սխալները:

Ահա մի Լանջերի հաշվիչ որը կարող եք օգտագործել Դեկարտյան կոորդինատների համակարգի երկու կետերի միջև թեքությունը կամ գրադիենտը հաշվարկելու համար: 

Այն ամենը, ինչ դուք պետք է անեք այս թեքության հաշվիչը օգտագործելիս, մուտքագրեք x1, x2, y1, y2 արժեքը: 

Հաշվիչը ավտոմատ կերպով կհաշվի թեքությունը, գծի հավասարումը, վերելքը, վազքը, երկու կետերի միջև հեռավորությունը և շատ ավելին, դուք պետք չէ երկու անգամ թարթել:

Լանջը երկրաչափության մեջ

Ինչպես արդեն ասացինք, թեքությունը գծի կտրուկության չափանիշ է:

Եռանկյուններում գծի թեքությունը կարող է օգտագործվել գծի և x առանցքի միջև անկյունը հաշվարկելու համար

Գծի թեքությունը կարող է օգտագործվել նաև երկու ուղիղների զուգահեռ կամ ուղղահայաց լինելու համար: Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե ունեն միևնույն թեքություն, և ուղղահայաց են, եթե դրանց թեքությունները միմյանց բացասական փոխադարձ են:

Իրական աշխարհի հավելվածներ

• Շինարարություն և ճարտարապետությունԼանջերի հաշվարկներն օգտագործվում են թեքահարթակների, աստիճանների և տանիքների նախագծման ժամանակ: Տանիքի թեքությունը, օրինակ, որոշում է, թե որքան նյութ է օգտագործվելու տանիքի կառուցման համար, ինչպես նաև տանիքի արդյունավետությունը:

• ՖիզիկաԼանջերի հաշվարկներն օգտագործվում են շարժման և ուժի դիագրամներում: Օրինակ, դիրք-ժամանակ գրաֆիկի թեքությունը տալիս է օբյեկտի արագությունը:
• ՏնտեսագիտությունԼանջերի հաշվարկները օգտագործվում են միտումները հասկանալու համար: Օրինակ, պահանջարկի կորի թեքությունը ցույց է տալիս այն արագությունը, որով պահանջվող քանակությունը փոխվում է գնի նկատմամբ:

Ինտերակտիվ օրինակներ և վարժություններ

Այս բաժինը առաջարկում է մի շարք ինտերակտիվ օրինակներ և վարժություններ, որոնք կօգնեն ամրապնդել ձեր պատկերացումները թեքության հաշվարկների վերաբերյալ:

Խնդիր 1:

Դիտարկենք կոորդինատային հարթության երկու կետ՝ ( A(2, 5) ) և ( B(4, 9) ): Հաշվե՛ք այս կետերով անցնող գծի թեքությունը՝ օգտագործելով թեքության բանաձևը։

Լուծում

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

Խնդիր 2:

Հաշվի առնելով երկու կետերը ( C(3, 8) ) և (D(7, 2)), հաշվարկեք այս կետերով անցնող գծի թեքությունը՝ օգտագործելով թեքության բանաձևը:

Լուծում

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

Իրական կյանքի սցենարներ

1 սցենարը. Թեքահարթակի դիզայն

Պատկերացրեք, որ դուք ճարտարապետ եք, ում հանձնարարված է նախագծել շենքի մուտքի համար անվասայլակով թեքահարթակ: Օգտագործեք թեքության հաշվարկները՝ որոշելու համար մատչելիության օպտիմալ թեքությունը՝ պահպանելով անվտանգության չափանիշները:

2 սցենարը. Տնտեսական միտումներ

Որպես ֆինանսական վերլուծաբան՝ ժամանակի ընթացքում վերլուծեք տնտեսական տվյալների մի շարք կետեր և հաշվարկեք թեքությունը՝ միտումները բացահայտելու համար: Ինչպե՞ս կարող է այս տեղեկատվությունը արժեքավոր լինել տեղեկացված կանխատեսումներ անելու համար:

Այժմ գնդակը ձերն է, որ կարող եք կրակել, կիսվեք ձեր լուծումներով կամ ձեր կյանքում թեքության հաշվարկներ կիրառելով: Անկախ նրանից, թե դա վերափոխում է ձեր այգին, թե մեկ բաժակ ջուր խմել:

Ազատորեն ներկայացրեք ձեր լուծումները կամ կիսվեք ձեր փորձով:

Եզրափակում

Մենք հասել ենք այս հոդվածի ավարտին, եկեք ամփոփենք այս հոդվածում գրված հիմնական կետերը

Հիմնական միավորներ.

• Լանջը չափում է գծի կտրուկությունը և կարևոր նշանակություն ունի մաթեմատիկայի և իրական աշխարհի տարբեր կիրառություններում:
• Լանջի բանաձևը (m = {y2 – y1} / {x2 – x1})
• Լանջերի 4 տեսակներն են. Դրական, բացասական, զրոյական և չսահմանված թեքությունները և յուրաքանչյուրը յուրահատուկ տեղեկատվություն է հաղորդում գծի բնութագրերի մասին:
• Իրական աշխարհում թեքությունը օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են աշխարհագրությունը, ինժեներությունը, ճարտարապետությունը և ֆիզիկան: