Í stærðfræði er halli eða halli línu tala sem lýsir bæði stefnu og bratta línunnar (öskrar Wikipedia). Það er reiknað með því að finna hlutfall breytingarinnar á y-hnitinu og breytingarinnar á x-hnitinu milli tveggja aðskildra punkta á línunni.

Til dæmis, ef þú ert með tvo punkta á línu, (1,2) og (3,4), er halli línunnar á milli þeirra (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Við munum komast að þessu nógu fljótt.

Halli er mikilvægt hugtak í stærðfræði og hefur mörg raunveruleg forrit. Til dæmis er hægt að nota það til að reikna út hraða hlutar, breytingahraða falls eða bratta hæðar.

Í hinum raunverulega heimi er halli notaður á ýmsum sviðum eins og landafræði, byggingarverkfræði, arkitektúr og eðlisfræði. Í landafræði er halli notaður til að lýsa bratta yfirborðs jarðar. Það er notað til að líkja yfirborðsrennsli, einkenna búsvæði, flokka jarðveg, meta þróunarmöguleika og líkja eftir hættu á skógareldum.

Í byggingarverkfræði er halli notaður til að hanna vegi, brýr og önnur mannvirki. Það er notað til að ákvarða bestu leiðina til að klára verkefni og smíða hjólastólarampa, vegi og stiga.

Í byggingarlist er halli notaður til að hanna byggingar og mannvirki sem eru stöðug og örugg. Í eðlisfræði er halli notaður til að lýsa hraða hlutar yfir tíma.

Ég meina að tala um mikilvægi…

Grunnhugtök halla

Halli er reiknaður sem hlutfall lóðréttu breytingarinnar (hækkunar) og láréttu breytingarinnar (hlaups) milli tveggja punkta á línu.

Hallaformúlan er gefin upp sem m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

Í formúlunni hér að ofan eru tveir punktar, nú hefur hver punktur bæði samsvarandi y loku og x gildi. Hnit punkts 1 er (x1, y1) og hnit punkts 2 er (x2, y2) eins og sýnt er á myndinni hér að ofan.

Það eru fjórar tegundir af brekkum: jákvæðar, neikvæðar, núll og óskilgreindar.

Jákvæð halli gefur til kynna að línan sé að aukast frá vinstri til hægri, en neikvæð halli gefur til kynna að línan sé að minnka frá vinstri til hægri.

Núllhalli gefur til kynna að línan sé lárétt en óskilgreind halli gefur til kynna að línan sé lóðrétt.

Skýringarmyndin hér að neðan sýnir mismunandi gerðir af brekkum:

Útreikningur á halla: Skref-fyrir-skref leiðbeiningar

Í þessum hluta munum við fara í gegnum skref-fyrir-skref leiðbeiningar um hvernig á að reikna út halla

Hér að neðan er skref-fyrir-skref leiðbeiningar um hvernig á að reikna út halla:

1. Þekkja tvo punkta á línunni.
2. Veldu einn punkt til að vera (x1, y1) og hinn til að vera (x2, y2).
3. Finndu lóðréttu breytinguna (hækkana) með því að draga frá y-hnit punktanna tveggja.
4. Finndu láréttu breytinguna (hlaupið) með því að draga x-hnit punktanna tveggja frá.
5. Deilið lóðréttu breytingunni með láréttu breytingunni (hækka yfir hlaup) til að fá hallann.

Hér er dæmi til að sýna ofangreind skref:

Segjum að við höfum tvo punkta á línu, (1, 2) og (3, 6).

Við getum reiknað út halla línunnar sem hér segir:

1. Þekkja tvo punkta á línunni: (1, 2) og (3, 6).
2. Veldu einn punkt til að vera (x1, y1) og hinn til að vera (x2, y2): Við skulum velja (1, 2) sem (x1, y1) og (3, 6) sem (x2, y2).
3. Finndu lóðréttu breytinguna (hækkana) með því að draga frá y-hnit punktanna tveggja: 6 - 2 = 4.
4. Finndu láréttu breytinguna (hlaupið) með því að draga frá x-hnit punktanna tveggja: 3 - 1 = 2.
5. Deilið lóðréttu breytingunni með láréttu breytingunni (hækka yfir hlaup) til að fá hallann: 4 / 2 = 2.

Þess vegna er hallinn 2. Þ.e. jákvæð halla

Hér er annað dæmi til að sýna ofangreind skref:

Segjum að við höfum tvo punkta á línu, (3, 7) og (1, 10).

Við getum reiknað út halla línunnar sem hér segir:

1. Þekkja tvo punkta á línunni: (3, 7) og (1, 10).
2. Veldu einn punkt til að vera (x1, y1) og hinn til að vera (x2, y2): Við skulum velja (3, 7) sem (x1, y1) og (1, 10) sem (x2, y2).
3. Finndu lóðréttu breytinguna (hækkana) með því að draga frá y-hnit punktanna tveggja: 10 - 7 = 3.
4. Finndu láréttu breytinguna (hlaupið) með því að draga frá x-hnit punktanna tveggja: 1 – 3 = -2.
5. Deilið lóðréttu breytingunni með láréttu breytingunni (hækka yfir hlaup) til að fá hallann: 3 / -2 = -1.5.

Þess vegna er hallinn -1.5. Þ.e. neikvæð halla.

Hér eru nokkur ráð til að forðast algeng mistök við útreikning á halla:

1. Skilja hugtakið halla: Halli er reiknaður sem hlutfall breytinga á y og breytingu á x. Jákvæð halli bendir til hækkunar en neikvæð halli bendir til lækkunar.
2. Athugaðu útreikninga þína: Hallaútreikningar geta verið erfiðir, svo það er mikilvægt að athuga vinnuna þína. Gakktu úr skugga um að þú hafir rétt gildi fyrir breytinguna á y og breytingunni á x og að þú hafir skipt þeim rétt.
3. Nýta sér Halla reiknivél: Að nýta sér hallareiknivél mun draga verulega úr villum.

Hér er Halla reiknivél sem þú getur notað til að reikna út halla eða halla milli tveggja punkta í kartesíska hnitakerfinu. 

Allt sem þú þarft að gera þegar þú notar þessa hallareiknivél er að slá inn gildið x1, x2, y1, y2. 

Reiknivélin mun sjálfkrafa reikna hallann, jöfnu línunnar, hækkunina, hlaupið, fjarlægðina milli punktanna tveggja og margt fleira, þú þarft ekki að blikka tvisvar.

Halli í rúmfræði

Eins og við sögðum áðan er halli mælikvarði á bratta línu.

Í þríhyrningum er hægt að nota halla línu til að reikna hornið milli línunnar og x-ássins

Einnig er hægt að nota halla línu til að ákvarða hvort tvær línur séu samsíða eða hornréttar. Tvær línur eru samsíða ef þær hafa sama halla og þær eru hornréttar ef hallar þeirra eru neikvæðar gagnkvæmar.

Raunverulegt forrit

• Bygging og arkitektúr: Hallaútreikningar eru notaðir við hönnun rampa, stiga og þök. Halli þaks, til dæmis, ákvarðar hversu mikið efni verður notað til að byggja þakið sem og frammistöðu þaksins.

• Eðlisfræði: Hallaútreikningar eru notaðir í hreyfi- og kraftamyndum. Til dæmis gefur hallinn á stöðu-tíma línuriti hraða hlutar.
• Hagfræði: Hallaútreikningar eru notaðir til að skilja þróun. Til dæmis gefur halli eftirspurnarferilsins það hraða sem eftirspurð magn breytist með tilliti til verðs.

Gagnvirk dæmi og æfingar

Þessi hluti býður upp á safn gagnvirkra dæma og æfinga til að styrkja skilning þinn á hallaútreikningum.

Vandamál 1:

Skoðum tvo punkta á hnitaplani: ( A(2, 5) ) og ( B(4, 9) ). Reiknaðu halla línunnar sem liggur í gegnum þessa punkta með því að nota hallaformúluna.

lausn:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

Vandamál 2:

Með því að gefa tvo punkta ( C(3, 8) ) og ( D(7, 2) ), reiknaðu halla línunnar sem liggur í gegnum þessa punkta með því að nota hallaformúluna.

lausn:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

Raunveruleg sviðsmynd

Atburðarás 1: Hönnun rampa

Ímyndaðu þér að þú sért arkitekt sem falið er að hanna hjólastólaramp fyrir innganginn að byggingunni. Notaðu hallaútreikninga til að ákvarða bestu halla fyrir aðgengi á meðan þú fylgir öryggisstöðlum.

Atburðarás 2: Efnahagsleg þróun

Sem fjármálafræðingur skaltu greina mengi efnahagsgagnapunkta með tímanum og reikna hallann til að bera kennsl á þróun. Hvernig gætu þessar upplýsingar verið verðmætar til að gera upplýstar spár?

Nú er boltinn þinn til að skjóta, deila lausnum þínum eða hvernig þú hefur beitt hallaútreikningum í lífi þínu. Hvort sem það er að endurhanna garðinn þinn eða drekka vatnsglas.

Ekki hika við að senda inn lausnir þínar eða deila reynslu þinni.

Niðurstaða

Við erum komin að lokum þessarar greinar, við skulum rifja upp lykilatriðin sem skrifuð eru í þessari grein

Lykil atriði:

• Halli mælir bratta línu og skiptir sköpum í stærðfræði og ýmsum raunverulegum forritum.
• Hallaformúlan (m = {y2 – y1} / {x2 – x1})
• 4 tegundir af brekkum eru; Jákvæðar, neikvæðar, núll og óskilgreindar hallar og hver um sig miðlar einstökum upplýsingum um eiginleika línu.
• Í hinum raunverulega heimi er halli notaður á ýmsum sviðum eins og landafræði, byggingarverkfræði, arkitektúr og eðlisfræði.