Математикада сызықтың еңісі немесе градиенті - сызықтың бағытын да, тіктігін де сипаттайтын сан (Википедия айқайлайды). Ол түзудің екі бөлек нүктесінің арасындағы у координатасы өзгерісінің х координатасы өзгерісіне қатынасын табу арқылы есептеледі.

Мысалы, егер сізде екі нүкте (1,2) және (3,4) болса, олардың арасындағы түзудің еңісі (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1 болады. Біз бұған жақын арада жетеміз.

Көлбеу - математикадағы маңызды ұғым және көптеген нақты әлемде қолданбалары бар. Мысалы, оны нысанның жылдамдығын, функцияның өзгеру жылдамдығын немесе төбенің тіктігін есептеу үшін пайдалануға болады.

Нақты әлемде көлбеу география, құрылыс инженериясы, сәулет және физика сияқты әртүрлі салаларда қолданылады. Географияда еңіс жер бетінің тіктігін сипаттау үшін қолданылады. Ол жер үсті ағындарын модельдеу, тіршілік ету ортасын сипаттау, топырақты жіктеу, даму әлеуетін бағалау және дала өртінің қаупін модельдеу үшін қолданылады.

Құрылыста еңіс жолдарды, көпірлерді және басқа құрылыстарды жобалау үшін қолданылады. Ол жобаны аяқтаудың және мүгедектер арбасына арналған пандустарды, жолдарды және баспалдақтарды салудың ең жақсы әдісін анықтау үшін қолданылады.

Сәулет өнерінде еңіс тұрақты және қауіпсіз ғимараттар мен құрылыстарды жобалау үшін қолданылады. Физикада көлбеу заттың уақыт бойынша жылдамдығын сипаттау үшін қолданылады.

Мен маңыздылық туралы айтамын ...

Еңістің негізгі түсініктері

Көлбеу сызықтағы екі нүкте арасындағы тік өзгерістің (көтерудің) көлденең өзгеріске (жүріске) қатынасы ретінде есептеледі.

Көлбеу формуласы m = (y2 – y1) / (x2 – x1) түрінде өрнектеледі.

Жоғарыдағы формулада екі нүкте бар, енді әрбір нүктеде сәйкес у клапаны да, х мәні де бар. 1 нүктесінің координатасы (x1, y1) және 2 нүктесінің координатасы (x2, y2) жоғарыдағы суретте көрсетілгендей.

Еңістердің төрт түрі бар: оң, теріс, нөлдік және анықталмаған.

Оң көлбеу сызықтың солдан оңға қарай ұлғаюын көрсетеді, ал теріс көлбеу сызықтың солдан оңға қарай кемуін көрсетеді.

Нөлдік еңіс сызықтың көлденең екенін көрсетеді, ал анықталмаған еңіс сызықтың тік екенін көрсетеді.

Төмендегі диаграмма әр түрлі беткейлердің түрлерін көрсетеді:

Көлбеуді есептеу: қадамдық нұсқаулық

Бұл бөлімде біз көлбеуді есептеу әдісі бойынша қадамдық нұсқаулықты қарастырамыз

Төменде көлбеуді есептеу бойынша қадамдық нұсқаулық берілген:

1. Түзудегі екі нүктені анықтаңыз.
2. Бір нүктені (x1, y1) және екіншісін (x2, y2) таңдаңыз.
3. Екі нүктенің y координаталарын шегеру арқылы тік өзгерісті (көтеруді) табыңыз.
4. Екі нүктенің х координаталарын шегеру арқылы көлденең өзгерісті (жүгіруді) табыңыз.
5. Еңісті алу үшін тік өзгерісті көлденең өзгеріске (жүгіру үстінде көтерілу) бөліңіз.

Міне, жоғарыдағы қадамдарды суреттейтін мысал:

Түзуде (1, 2) және (3, 6) екі нүкте бар делік.

Сызықтың еңісін келесідей есептей аламыз:

1. Түзудегі екі нүктені анықтаңыз: (1, 2) және (3, 6).
2. Бір нүктені (x1, y1) және екіншісін (x2, y2) таңдаңыз: (1, 2) (x1, y1) және (3, 6) (x2, y2) ретінде таңдайық.
3. Екі нүктенің y координаталарын шегеру арқылы тік өзгерісті (көтеруді) табыңыз: 6 – 2 = 4.
4. Екі нүктенің х координаталарын шегеру арқылы көлденең өзгерісті (жүгіруді) табыңыз: 3 – 1 = 2.
5. Еңісті алу үшін тік өзгерісті көлденең өзгеріске (жүгірудің үстіндегі көтерілу) бөліңіз: 4 / 2 = 2.

Демек, көлбеу 2. Яғни оң көлбеу

Жоғарыдағы қадамдарды суреттейтін тағы бір мысал:

Түзуде (3, 7) және (1, 10) екі нүкте бар делік.

Сызықтың еңісін келесідей есептей аламыз:

1. Түзудегі екі нүктені анықтаңыз: (3, 7) және (1, 10).
2. Бір нүктені (x1, y1) және екіншісін (x2, y2) таңдаңыз: (3, 7) (x1, y1) және (1, 10) (x2, y2) ретінде таңдайық.
3. Екі нүктенің y координаталарын шегеру арқылы тік өзгерісті (көтеруді) табыңыз: 10 – 7 = 3.
4. Екі нүктенің х координаталарын шегеру арқылы көлденең өзгерісті (жүгіруді) табыңыз: 1 – 3 = -2.
5. Еңісті алу үшін тік өзгерісті көлденең өзгеріске (жүгірудің үстіндегі көтерілу) бөліңіз: 3 / -2 = -1.5.

Демек, көлбеу -1.5. Яғни теріс көлбеу.

Көлбеуді есептеу кезінде жиі кездесетін қателерді болдырмау үшін бірнеше кеңестер берілген:

1. Көлбеу ұғымын түсіну: Көлбеу y өзгерісінің х өзгерісіне қатынасы ретінде есептеледі. Оң көлбеу өсу үрдісін көрсетеді, ал теріс еңіс төмендеу үрдісін көрсетеді.
2. Есептеулеріңізді екі рет тексеріңіз: Еңістерді есептеу қиын болуы мүмкін, сондықтан жұмысыңызды екі рет тексеру маңызды. y өзгерісі мен х өзгерісінің дұрыс мәндері бар екеніне және оларды дұрыс бөлгеніңізге көз жеткізіңіз.
3. Пайдалану Көлбеу калькуляторы: Пайдалану көлбеу калькуляторы қателерді айтарлықтай азайтады.

Міне, а Көлбеу калькуляторы декарттық координаталар жүйесіндегі екі нүкте арасындағы еңісті немесе градиентті есептеу үшін пайдалануға болады. 

Бұл көлбеу калькуляторын пайдаланған кезде сізге тек x1, x2, y1, y2 мәнін енгізу қажет. 

Калькулятор көлбеуді, сызықтың теңдеуін, көтерілуді, жүгіруді, екі нүкте арасындағы қашықтықты және тағы басқаларды автоматты түрде есептейді, екі рет жыпылықтаудың қажеті жоқ.

Геометриядағы көлбеу

Жоғарыда айтқанымыздай, көлбеу сызықтың тіктігінің өлшемі болып табылады.

Үшбұрыштарда сызықтың еңісін түзу мен x осі арасындағы бұрышты есептеу үшін пайдалануға болады

Түзудің еңісі екі түзудің параллель немесе перпендикуляр екенін анықтау үшін де пайдаланылуы мүмкін. Екі түзудің еңістері бірдей болса, параллель болады, ал егер олардың еңістері бір-біріне теріс кері болса, олар перпендикуляр болады.

Нақты дүние қолданбалары

• Құрылыс және сәулет: Көлбеу есептеулері пандустарды, баспалдақтарды және шатырларды жобалауда қолданылады. Шатырдың биіктігі, мысалы, шатырды салу үшін қанша материал қолданылатынын, сондай-ақ шатырдың өнімділігін анықтайды.

• физика: Көлбеу есептеулері қозғалыс және күш диаграммаларында қолданылады. Мысалы, позиция-уақыт графигінің көлбеуі объектінің жылдамдығын береді.
• Экономика: Трендтерді түсіну үшін көлбеу есептеулері қолданылады. Мысалы, сұраныс қисығының көлбеуі сұраныс санының бағаға қатысты өзгеру жылдамдығын береді.

Интерактивті мысалдар мен жаттығулар

Бұл бөлім көлбеу есептеулер туралы түсінігіңізді бекітуге көмектесетін интерактивті мысалдар мен жаттығулар жиынтығын ұсынады.

Мәселе 1:

Координаталық жазықтықтағы екі нүктені қарастырайық: ( A(2, 5) ) және ( B(4, 9) ). Көлбеу формуласы арқылы осы нүктелер арқылы өтетін түзудің еңісін есептеңіз.

Шешім:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

Мәселе 2:

Екі нүкте ( C(3, 8) ) және ( D(7, 2) ) берілген, көлбеу формуласы арқылы осы нүктелер арқылы өтетін түзудің еңісін есептеңіз.

Шешім:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

Шынайы өмір сценарийлері

1 сценарийі: Рампаның дизайны

Сіз ғимаратқа кіре беріс үшін мүгедектер арбасына арналған пандусты жобалау міндеті жүктелген сәулетші екеніңізді елестетіңіз. Қауіпсіздік стандарттарын сақтай отырып, қолжетімділік үшін оңтайлы еңісті анықтау үшін көлбеу есептеулерін пайдаланыңыз.

2 сценарийі: Экономикалық тенденциялар

Қаржылық талдаушы ретінде уақыт бойынша экономикалық деректер нүктелерінің жинағын талдаңыз және тенденцияларды анықтау үшін еңісті есептеңіз. Бұл ақпарат негізделген болжамдар жасау үшін қаншалықты құнды болуы мүмкін?

Енді допты ату сіздікі, шешімдеріңізді немесе өміріңізде көлбеу есептеулерді қолданған жолдарыңызбен бөлісіңіз. Бұл сіздің бақшаңызды қайта құру немесе бір стақан су ішу.

Шешімдеріңізді жіберіңіз немесе тәжірибеңізбен бөлісіңіз.

қорытынды

Біз осы мақаланың соңына жеттік, осы мақалада жазылған негізгі ойларды қайталайық

Негізгі ұпайлар:

• Көлбеу сызықтың тіктігін өлшейді және математикада және әртүрлі нақты әлем қолданбаларында өте маңызды.
• Көлбеу формуласы ( m = {y2 – y1} / {x2 – x1} )
• Еңістердің 4 түрі бар; Оң, теріс, нөлдік және анықталмаған көлбеу және олардың әрқайсысы сызықтың сипаттамалары туралы бірегей ақпаратты береді.
• Нақты әлемде көлбеу география, құрылыс инженериясы, сәулет және физика сияқты әртүрлі салаларда қолданылады.