Matemātikā līnijas slīpums jeb gradients ir skaitlis, kas raksturo gan līnijas virzienu, gan stāvumu (kliedz Vikipēdija). To aprēķina, atrodot y-koordinātas izmaiņu attiecību pret x-koordinātas izmaiņām starp diviem skaidriem punktiem uz līnijas.

Piemēram, ja uz līnijas ir divi punkti (1,2) un (3,4), līnijas slīpums starp tiem ir (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Mēs pie tā nonāksim pietiekami drīz.

Slīpums ir svarīgs matemātikas jēdziens, un tam ir daudz reālās pasaules lietojumu. Piemēram, to var izmantot, lai aprēķinātu objekta ātrumu, funkcijas maiņas ātrumu vai kalna stāvumu.

Reālajā pasaulē slīpums tiek izmantots dažādās jomās, piemēram, ģeogrāfijā, civilajā inženierijā, arhitektūrā un fizikā. Ģeogrāfijā slīpums tiek izmantots, lai aprakstītu zemes virsmas stāvumu. To izmanto, lai modelētu virszemes noteci, raksturotu biotopu, klasificētu augsnes, novērtētu attīstības potenciālu un modelētu ugunsgrēku risku.

Inženierbūvē slīpumu izmanto ceļu, tiltu un citu konstrukciju projektēšanai. To izmanto, lai noteiktu labāko veidu, kā pabeigt projektu un būvēt ratiņkrēslu rampas, ceļus un kāpnes.

Arhitektūrā slīpumu izmanto, lai projektētu ēkas un būves, kas ir stabilas un drošas. Fizikā slīpumu izmanto, lai aprakstītu objekta ātrumu laika gaitā.

Es domāju par svarīgumu...

Slīpuma pamatjēdzieni

Slīpums tiek aprēķināts kā vertikālo izmaiņu (kāpuma) attiecība pret horizontālajām izmaiņām (skrējiens) starp diviem līnijas punktiem.

Slīpuma formula ir izteikta kā m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

Iepriekš minētajā formulā ir divi punkti, tagad katram punktam ir gan atbilstošais y vārsts, gan x vērtība. Punkta 1 koordināta ir (x1, y1) un punkta 2 koordināta ir (x2, y2), kā parādīts attēlā iepriekš.

Ir četri slīpumu veidi: pozitīvs, negatīvs, nulles un nenoteikts.

Pozitīvs slīpums norāda, ka līnija palielinās no kreisās puses uz labo, savukārt negatīvs slīpums norāda, ka līnija samazinās no kreisās puses uz labo.

Nulles slīpums norāda, ka līnija ir horizontāla, savukārt nenoteikts slīpums norāda, ka līnija ir vertikāla.

Zemāk redzamā diagramma parāda dažādus nogāžu veidus:

Slīpuma aprēķināšana: soli pa solim

Šajā sadaļā mēs izskatīsim soli pa solim ceļvedi, kā aprēķināt slīpumu

Tālāk ir sniegts detalizēts ceļvedis, kā aprēķināt slīpumu:

1. Nosakiet divus punktus uz līnijas.
2. Izvēlieties vienu punktu, lai tas būtu (x1, y1) un otru (x2, y2).
3. Atrodiet vertikālās izmaiņas (kāpumu), atņemot abu punktu y-koordinātas.
4. Atrodiet horizontālās izmaiņas (palaist), atņemot abu punktu x-koordinātas.
5. Sadaliet vertikālās izmaiņas ar horizontālajām izmaiņām (pacelšanās virs skrējiena), lai iegūtu slīpumu.

Šeit ir piemērs, lai ilustrētu iepriekš minētās darbības:

Pieņemsim, ka uz līnijas ir divi punkti (1, 2) un (3, 6).

Mēs varam aprēķināt līnijas slīpumu šādi:

1. Nosakiet divus punktus uz līnijas: (1, 2) un (3, 6).
2. Izvēlieties vienu punktu, lai tas būtu (x1, y1), bet otru (x2, y2): Izvēlēsimies (1, 2) kā (x1, y1) un (3, 6) kā (x2, y2).
3. Atrodiet vertikālās izmaiņas (pieaugumu), atņemot divu punktu y-koordinātas: 6–2 = 4.
4. Atrodiet horizontālās izmaiņas (palaist), atņemot divu punktu x-koordinātas: 3–1 = 2.
5. Sadaliet vertikālās izmaiņas ar horizontālajām izmaiņām (paaugstināšanās virs skrējiena), lai iegūtu slīpumu: 4 2/2 XNUMX = XNUMX.

Tāpēc Slīpums ir 2. Ti pozitīvs slīpums

Šeit ir vēl viens piemērs, lai ilustrētu iepriekš minētās darbības:

Pieņemsim, ka uz līnijas ir divi punkti (3, 7) un (1, 10).

Mēs varam aprēķināt līnijas slīpumu šādi:

1. Nosakiet divus punktus uz līnijas: (3, 7) un (1, 10).
2. Izvēlieties vienu punktu, lai tas būtu (x1, y1), bet otru (x2, y2): Izvēlēsimies (3, 7) kā (x1, y1) un (1, 10) kā (x2, y2).
3. Atrodiet vertikālās izmaiņas (pieaugumu), atņemot divu punktu y-koordinātas: 10–7 = 3.
4. Atrodiet horizontālās izmaiņas (palaist), atņemot divu punktu x-koordinātas: 1-3 = -2.
5. Sadaliet vertikālās izmaiņas ar horizontālajām izmaiņām (paaugstināšanās virs skrējiena), lai iegūtu slīpumu: 3 / -2 = -1.5.

Tāpēc slīpums ir -1.5. Ti negatīvs slīpums.

Šeit ir daži padomi, kā izvairīties no bieži pieļautām kļūdām, aprēķinot slīpumu:

1. Izprotiet slīpuma jēdzienu: Slīpums tiek aprēķināts kā y izmaiņu attiecība pret x izmaiņām. Pozitīvs slīpums norāda uz augšupejošu tendenci, bet negatīvs slīpums norāda uz lejupejošu tendenci.
2. Vēlreiz pārbaudiet aprēķinus: Slīpuma aprēķini var būt sarežģīti, tāpēc ir svarīgi vēlreiz pārbaudīt savu darbu. Pārliecinieties, vai jums ir pareizās y izmaiņu un x izmaiņu vērtības un vai tās ir pareizi sadalītas.
3. Izmantot Slīpuma kalkulators: Izmantojot slīpuma kalkulators ievērojami samazinās kļūdu skaitu.

Lūk Slīpuma kalkulators ko varat izmantot, lai aprēķinātu slīpumu vai gradientu starp diviem punktiem Dekarta koordinātu sistēmā. 

Viss, kas jums jādara, izmantojot šo slīpuma kalkulatoru, ir jāievada x1, x2, y1, y2 vērtība. 

Kalkulators automātiski aprēķinās slīpumu, līnijas vienādojumu, kāpumu, skrējienu, attālumu starp diviem punktiem un daudz ko citu, jums nav jāmirkšķina divas reizes.

Slīpums ģeometrijā

Kā jau teicām iepriekš, slīpums ir līnijas stāvuma mērs.

Trijstūros līnijas slīpumu var izmantot, lai aprēķinātu leņķi starp līniju un x asi

Līnijas slīpumu var izmantot arī, lai noteiktu, vai divas līnijas ir paralēlas vai perpendikulāras. Divas taisnes ir paralēlas, ja tām ir vienāds slīpums, un tās ir perpendikulāras, ja to nogāzes ir viena otras negatīvas apgrieztās vērtības.

Reālās pasaules lietojumprogrammas

• Būvniecība un Arhitektūra: Slīpuma aprēķini tiek izmantoti, projektējot rampas, kāpnes un jumtus. Piemēram, jumta slīpums nosaka, cik daudz materiāla tiks izmantots jumta celtniecībai, kā arī jumta veiktspēju.

• Fizika: Slīpuma aprēķini tiek izmantoti kustības un spēka diagrammās. Piemēram, pozīcijas un laika grafika slīpums norāda objekta ātrumu.
• Ekonomika: Slīpuma aprēķini tiek izmantoti, lai izprastu tendences. Piemēram, pieprasījuma līknes slīpums norāda ātrumu, kādā pieprasītais daudzums mainās attiecībā pret cenu.

Interaktīvi piemēri un vingrinājumi

Šajā sadaļā ir piedāvāts interaktīvu piemēru un vingrinājumu kopums, lai palīdzētu nostiprināt jūsu izpratni par slīpuma aprēķiniem.

1 problēma:

Aplūkosim divus punktus koordinātu plaknē: ( A(2, 5) ) un ( B(4, 9) ). Aprēķiniet līnijas slīpumu, kas iet caur šiem punktiem, izmantojot slīpuma formulu.

Risinājums:

m = (9–5) / (4–2) = (4)/(2) = 2

2 problēma:

Doti divi punkti ( C(3, 8) ) un ( D(7, 2) ), aprēķiniet taisnes slīpumu, kas iet caur šiem punktiem, izmantojot slīpuma formulu.

Risinājums:

m = (2–8) / (7–3) = (-6)/(4) = -1.5

Reālās dzīves scenāriji

1 scenārijs: Rampas dizains

Iedomājieties, ka esat arhitekts, kura uzdevums ir izstrādāt ratiņkrēslu rampu ēkas ieejai. Izmantojiet slīpuma aprēķinus, lai noteiktu optimālo slīpumu pieejamībai, vienlaikus ievērojot drošības standartus.

2 scenārijs: Ekonomiskās tendences

Kā finanšu analītiķis analizējiet ekonomikas datu punktu kopu laika gaitā un aprēķiniet slīpumu, lai noteiktu tendences. Kā šī informācija varētu būt vērtīga, lai veiktu apzinātas prognozes?

Tagad bumbiņa ir jūsu rokās. Dalieties savos risinājumos vai veidos, ko savā dzīvē esat izmantojis slīpuma aprēķinus. Neatkarīgi no tā, vai tā ir dārza pārveidošana vai ūdens glāzes izdzeršana.

Jūtieties brīvi iesniegt savus risinājumus vai dalīties pieredzē.

Secinājumi

Esam nonākuši līdz šī raksta beigām, atkārtosim šajā rakstā rakstītos galvenos punktus

Galvenie punkti:

• Slīpums mēra līnijas stāvumu, un tam ir izšķiroša nozīme matemātikā un dažādās reālās pasaules lietojumos.
• Slīpuma formula (m = {y2–y1} / {x2–x1})
• 4 veidu nogāzes ir; Pozitīvi, negatīvi, nulles un nedefinēti slīpumi, un katrs no tiem sniedz unikālu informāciju par līnijas īpašībām.
• Reālajā pasaulē slīpums tiek izmantots dažādās jomās, piemēram, ģeogrāfijā, civilajā inženierijā, arhitektūrā un fizikā.