ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു വരിയുടെ ചരിവ് അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രേഡിയന്റ് എന്നത് വരിയുടെ ദിശയും കുത്തനെയുള്ളതും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് (വിക്കിപീഡിയ അലറുന്നു). ലൈനിലെ രണ്ട് വ്യത്യസ്‌ത പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള x-കോർഡിനേറ്റിലെ മാറ്റവും y-കോർഡിനേറ്റിലെ മാറ്റവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കണ്ടെത്തി ഇത് കണക്കാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വരിയിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, (1,2), (3,4), അവയ്ക്കിടയിലുള്ള വരിയുടെ ചരിവ് (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1 ആണ്. ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ ഇതിലേക്ക് എത്തും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ആശയമാണ് ചരിവ്, കൂടാതെ നിരവധി യഥാർത്ഥ ലോക ആപ്ലിക്കേഷനുകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വസ്തുവിന്റെ വേഗത, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കുന്നിന്റെ കുത്തനെയുള്ളത് എന്നിവ കണക്കാക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.

യഥാർത്ഥ ലോകത്ത്, ഭൂമിശാസ്ത്രം, സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, വാസ്തുവിദ്യ, ഭൗതികശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിവിധ മേഖലകളിൽ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഭൂമിശാസ്ത്രത്തിൽ, ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിന്റെ കുത്തനെ വിവരിക്കാൻ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉപരിതല ഒഴുക്കിനെ മാതൃകയാക്കാനും, ആവാസവ്യവസ്ഥയെ വിശേഷിപ്പിക്കാനും, മണ്ണിനെ തരംതിരിക്കാനും, വികസനത്തിനുള്ള സാധ്യതകൾ വിലയിരുത്താനും, കാട്ടുതീ സാധ്യതയെ മാതൃകയാക്കാനും ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗിൽ, റോഡുകൾ, പാലങ്ങൾ, മറ്റ് ഘടനകൾ എന്നിവ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യാൻ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു പ്രോജക്റ്റ് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനും വീൽചെയർ റാമ്പുകൾ, റോഡുകൾ, പടികൾ എന്നിവ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വാസ്തുവിദ്യയിൽ, സ്ഥിരവും സുരക്ഷിതവുമായ കെട്ടിടങ്ങളും ഘടനകളും രൂപകൽപ്പന ചെയ്യാൻ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, കാലക്രമേണ ഒരു വസ്തുവിന്റെ വേഗത വിവരിക്കാൻ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഞാൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു ...

ചരിവിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

ഒരു വരിയിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ലംബമായ മാറ്റത്തിന്റെ (ഉയർച്ച) തിരശ്ചീന മാറ്റത്തിന്റെ (റൺ) അനുപാതമായി ചരിവ് കണക്കാക്കുന്നു.

ചരിവ് സൂത്രവാക്യം m = (y2 – y1) / (x2 – x1) ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ, രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്, ഇപ്പോൾ ഓരോ പോയിന്റിനും അനുബന്ധ y വാൽവും x മൂല്യവും ഉണ്ട്. മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പോയിന്റ്1 ന്റെ കോർഡിനേറ്റ് (x1, y1) ആണ്, പോയിന്റ്2 ന്റെ (x2, y2) ആണ്.

നാല് തരം ചരിവുകൾ ഉണ്ട്: പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, പൂജ്യം, നിർവചിക്കാത്തത്.

പോസിറ്റീവ് ചരിവ് രേഖ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് വർദ്ധിക്കുന്നതായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതേസമയം നെഗറ്റീവ് ചരിവ് രേഖ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് കുറയുന്നുവെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു പൂജ്യം ചരിവ് രേഖ തിരശ്ചീനമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, നിർവചിക്കാത്ത ചരിവ് രേഖ ലംബമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ചുവടെയുള്ള ഡയഗ്രം വ്യത്യസ്ത തരം ചരിവുകളെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു:

ചരിവ് കണക്കാക്കുന്നു: ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഗൈഡ്

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ചരിവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഗൈഡിലൂടെ ഞങ്ങൾ പോകും

ചരിവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഗൈഡ് ചുവടെയുണ്ട്:

1. വരിയിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ തിരിച്ചറിയുക.
2. ഒരു പോയിന്റ് (x1, y1) ആകാനും മറ്റൊന്ന് (x2, y2) ആകാനും തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
3. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ y-കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറച്ചുകൊണ്ട് ലംബമായ മാറ്റം (ഉയർച്ച) കണ്ടെത്തുക.
4. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ x-കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറച്ചുകൊണ്ട് തിരശ്ചീനമായ മാറ്റം (റൺ) കണ്ടെത്തുക.
5. ചരിവ് ലഭിക്കുന്നതിന് ലംബമായ മാറ്റത്തെ തിരശ്ചീന മാറ്റം (റൈസ് ഓവർ റൺ) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

മുകളിലുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

നമുക്ക് ഒരു വരിയിൽ (1, 2), (3, 6) എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക.

വരിയുടെ ചരിവ് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കാം:

1. വരിയിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ തിരിച്ചറിയുക: (1, 2) കൂടാതെ (3, 6).
2. ഒരു പോയിന്റ് (x1, y1) ആകാനും മറ്റൊന്ന് (x2, y2) ആകാനും തിരഞ്ഞെടുക്കുക: നമുക്ക് (1, 2) (x1, y1) ആയും (3, 6) (x2, y2) ആയും തിരഞ്ഞെടുക്കാം.
3. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ y-കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറച്ചുകൊണ്ട് ലംബമായ മാറ്റം (ഉയർച്ച) കണ്ടെത്തുക: 6 - 2 = 4.
4. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ x-കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറച്ചുകൊണ്ട് തിരശ്ചീനമായ മാറ്റം (റൺ) കണ്ടെത്തുക: 3 - 1 = 2.
5. ചരിവ് ലഭിക്കുന്നതിന് ലംബമായ മാറ്റത്തെ തിരശ്ചീനമായ മാറ്റം (റൈസ് ഓവർ റൺ) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക: 4/2 = 2.

അതിനാൽ, ചരിവ് 2. അതായത് പോസിറ്റീവ് ചരിവ്

മുകളിലുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

നമുക്ക് ഒരു വരിയിൽ (3, 7), (1, 10) എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക.

വരിയുടെ ചരിവ് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കാം:

1. വരിയിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ തിരിച്ചറിയുക: (3, 7) കൂടാതെ (1, 10).
2. ഒരു പോയിന്റ് (x1, y1) ആകാനും മറ്റൊന്ന് (x2, y2) ആകാനും തിരഞ്ഞെടുക്കുക: നമുക്ക് (3, 7) (x1, y1) ആയും (1, 10) (x2, y2) ആയും തിരഞ്ഞെടുക്കാം.
3. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ y-കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറച്ചുകൊണ്ട് ലംബമായ മാറ്റം (ഉയർച്ച) കണ്ടെത്തുക: 10 - 7 = 3.
4. രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ x-കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറച്ചുകൊണ്ട് തിരശ്ചീനമായ മാറ്റം (റൺ) കണ്ടെത്തുക: 1 - 3 = -2.
5. ചരിവ് ലഭിക്കുന്നതിന് ലംബമായ മാറ്റത്തെ തിരശ്ചീനമായ മാറ്റം (റൈസ് ഓവർ റൺ) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക: 3 / -2 = -1.5.

അതിനാൽ, ചരിവ് -1.5 ആണ്. അതായത് നെഗറ്റീവ് ചരിവ്.

ചരിവ് കണക്കാക്കുമ്പോൾ സാധാരണ തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ചില നുറുങ്ങുകൾ ഇതാ:

1. ചരിവ് എന്ന ആശയം മനസ്സിലാക്കുക: ചരിവ് കണക്കാക്കുന്നത് y യിലെ മാറ്റവും x ലെ മാറ്റവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. പോസിറ്റീവ് ചരിവ് മുകളിലേക്കുള്ള പ്രവണതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതേസമയം നെഗറ്റീവ് ചരിവ് താഴോട്ടുള്ള പ്രവണതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
2. നിങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ രണ്ടുതവണ പരിശോധിക്കുക: ചരിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തന്ത്രപരമായിരിക്കാം, അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ ജോലി രണ്ടുതവണ പരിശോധിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. y-യിലെ മാറ്റത്തിനും x-ലെ മാറ്റത്തിനും നിങ്ങൾക്ക് ശരിയായ മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നും നിങ്ങൾ അവയെ ശരിയായി വിഭജിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും ഉറപ്പാക്കുക.
3. ഉപയോഗം ഉണ്ടാക്കുക ചരിവ് കാൽക്കുലേറ്റർ: ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നു ചരിവ് കാൽക്കുലേറ്റർ പിശകുകൾ വളരെ കുറയ്ക്കും.

ഇതാ ഒരു ചരിവ് കാൽക്കുലേറ്റർ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ചരിവ് അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രേഡിയന്റ് കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. 

ഈ സ്ലോപ്പ് കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് x1, x2, y1, y2 എന്നിവയുടെ മൂല്യം നൽകുക എന്നതാണ്. 

കാൽക്കുലേറ്റർ സ്വപ്രേരിതമായി ചരിവ്, വരിയുടെ സമവാക്യം, ഉയർച്ച, ഓട്ടം, രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരം, കൂടാതെ മറ്റു പലതും കണക്കാക്കും, നിങ്ങൾ രണ്ടുതവണ കണ്ണടക്കേണ്ടതില്ല.

ജ്യാമിതിയിൽ ചരിവ്

നമ്മൾ നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഒരു വരയുടെ കുത്തനെയുള്ള അളവാണ് ചരിവ്.

ത്രികോണങ്ങളിൽ, വരയ്ക്കും x-അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണക്കാക്കാൻ ഒരു രേഖയുടെ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കാം.

രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണോ ലംബമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാനും ഒരു വരയുടെ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കാം. ഒരേ ചരിവുകളുണ്ടെങ്കിൽ രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണ്, അവയുടെ ചരിവുകൾ പരസ്പരം നെഗറ്റീവ് റെസിപ്രോക്കലുകളാണെങ്കിൽ അവ ലംബമായിരിക്കും.

യഥാർത്ഥ ലോക ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ

• നിർമ്മാണവും വാസ്തുവിദ്യയും: റാമ്പുകൾ, പടികൾ, മേൽക്കൂരകൾ എന്നിവയുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ ചരിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. മേൽക്കൂരയുടെ പിച്ച്, ഉദാഹരണത്തിന്, മേൽക്കൂര നിർമ്മിക്കാൻ എത്ര മെറ്റീരിയൽ ഉപയോഗിക്കും അതുപോലെ തന്നെ മേൽക്കൂരയുടെ പ്രകടനവും നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

• ഫിസിക്സ്: ചരിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ചലനത്തിലും ബലത്തിലും ഡയഗ്രമുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഥാന-സമയ ഗ്രാഫിന്റെ ചരിവ് ഒരു വസ്തുവിന്റെ വേഗത നൽകുന്നു.
• സാമ്പത്തിക: ട്രെൻഡുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ചരിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡിമാൻഡ് കർവിന്റെ ചരിവ്, വിലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഡിമാന്റ് ചെയ്ത അളവ് മാറ്റങ്ങളുടെ നിരക്ക് നൽകുന്നു.

ഇന്ററാക്ടീവ് ഉദാഹരണങ്ങളും വ്യായാമങ്ങളും

ചരിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിങ്ങളുടെ ഗ്രാഹ്യം ഉറപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം സംവേദനാത്മക ഉദാഹരണങ്ങളും വ്യായാമങ്ങളും ഈ വിഭാഗം വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

പ്രശ്നം 1:

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ പരിഗണിക്കുക: (A(2, 5) ), (B(4, 9) ). ചരിവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ ചരിവ് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

പ്രശ്നം 2:

രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ( C(3, 8) ), ( D(7, 2) ) നൽകിയാൽ, ഈ പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ ചരിവ് സ്ലോപ്പ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

യഥാർത്ഥ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങൾ

രംഗം 1: റാമ്പ് ഡിസൈൻ

നിങ്ങൾ ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ പ്രവേശന കവാടത്തിനായി വീൽചെയർ റാംപ് രൂപകല്പന ചെയ്യുന്ന ഒരു ആർക്കിടെക്റ്റ് ആണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കുമ്പോൾ പ്രവേശനക്ഷമതയ്ക്കായി ഒപ്റ്റിമൽ ചരിവ് നിർണ്ണയിക്കാൻ ചരിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

രംഗം 2: സാമ്പത്തിക പ്രവണതകൾ

ഒരു സാമ്പത്തിക വിശകലന വിദഗ്ധൻ എന്ന നിലയിൽ, കാലക്രമേണ സാമ്പത്തിക ഡാറ്റാ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം വിശകലനം ചെയ്യുകയും ട്രെൻഡുകൾ തിരിച്ചറിയാൻ ചരിവ് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക. അറിവുള്ള പ്രവചനങ്ങൾ നടത്താൻ ഈ വിവരങ്ങൾ എങ്ങനെ വിലപ്പെട്ടേക്കാം?

ഇപ്പോൾ, പന്ത് ഷൂട്ട് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളുടേതാണ്, നിങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ പങ്കിടുക അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ജീവിതത്തിൽ നിങ്ങൾ ചരിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പ്രയോഗിച്ച വഴികൾ. അത് നിങ്ങളുടെ പൂന്തോട്ടം പുനർരൂപകൽപ്പന ചെയ്യുകയാണെങ്കിലും ഒരു ഗ്ലാസ് വെള്ളം കുടിക്കുകയാണെങ്കിലും.

നിങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ സമർപ്പിക്കാനോ നിങ്ങളുടെ അനുഭവങ്ങൾ പങ്കിടാനോ മടിക്കേണ്ടതില്ല.

തീരുമാനം

ഞങ്ങൾ ഈ ലേഖനത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ എത്തി, ഈ ലേഖനത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന പ്രധാന പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് വീണ്ടും പരിശോധിക്കാം

കീ പോയിന്റുകൾ:

• ചരിവ് ഒരു വരയുടെ കുത്തനെ അളക്കുന്നു, ഇത് ഗണിതത്തിലും വിവിധ യഥാർത്ഥ ലോക ആപ്ലിക്കേഷനുകളിലും നിർണായകമാണ്.
• ചരിവ് സൂത്രവാക്യം ( m = {y2 – y1} / {x2 – x1} )
• 4 തരം ചരിവുകൾ ഇവയാണ്; പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, പൂജ്യം, നിർവചിക്കാത്ത ചരിവുകൾ എന്നിവയും ഓരോന്നും ഒരു വരിയുടെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള തനതായ വിവരങ്ങൾ നൽകുന്നു.
• യഥാർത്ഥ ലോകത്ത്, ഭൂമിശാസ്ത്രം, സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, വാസ്തുവിദ്യ, ഭൗതികശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിവിധ മേഖലകളിൽ ചരിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.