I matematikk er helningen eller gradienten til en linje et tall som beskriver både retningen og brattheten til linjen (skriker Wikipedia). Det beregnes ved å finne forholdet mellom endringen i y-koordinaten og endringen i x-koordinaten mellom to distinkte punkter på linjen.

For eksempel, hvis du har to punkter på en linje, (1,2) og (3,4), er helningen på linjen mellom dem (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Vi kommer til dette snart nok.

Slope er et viktig konsept i matematikk og har mange bruksområder i den virkelige verden. For eksempel kan den brukes til å beregne hastigheten til et objekt, endringshastigheten til en funksjon eller brattheten til en bakke.

I den virkelige verden brukes skråning i forskjellige felt som geografi, sivilingeniør, arkitektur og fysikk. I geografi brukes helning for å beskrive brattheten til bakkens overflate. Den brukes til å modellere overflateavrenning, karakterisere habitat, klassifisere jordsmonn, vurdere potensialet for utvikling og modellere skogbrannrisiko.

I sivilingeniør brukes skråning til å designe veier, broer og andre strukturer. Den brukes til å bestemme den beste måten å fullføre et prosjekt og konstruere rullestolramper, veier og trapper.

I arkitektur brukes skråning til å designe bygninger og konstruksjoner som er stabile og trygge. I fysikk brukes helning for å beskrive hastigheten til et objekt over tid.

Jeg mener å snakke om viktighet...

Grunnleggende konsepter for skråning

Helning beregnes som forholdet mellom den vertikale endringen (stigning) og den horisontale endringen (løp) mellom to punkter på en linje.

Helningsformelen uttrykkes som m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

I formelen ovenfor er det to punkter, nå har hvert punkt både den tilsvarende y-ventilen og x-verdien. Koordinaten til punkt 1 er (x1, y1) og koordinaten til punkt 2 er (x2, y2) som vist i figuren ovenfor.

Det er fire typer bakker: positive, negative, null og udefinerte.

En positiv stigning indikerer at linjen øker fra venstre til høyre, mens en negativ stigning indikerer at linjen minker fra venstre til høyre.

En nullhelling indikerer at linjen er horisontal, mens en udefinert helning indikerer at linjen er vertikal.

Diagrammet nedenfor illustrerer de forskjellige typene bakker:

Beregne stigning: trinn-for-trinn-veiledning

I denne delen skal vi gå gjennom trinn-for-trinn-guiden for hvordan du beregner helning

Nedenfor er en trinn-for-trinn-guide for hvordan du beregner stigning:

1. Identifiser to punkter på linjen.
2. Velg ett punkt å være (x1, y1) og det andre å være (x2, y2).
3. Finn den vertikale endringen (stigningen) ved å trekke fra y-koordinatene til de to punktene.
4. Finn den horisontale endringen (løp) ved å trekke fra x-koordinatene til de to punktene.
5. Del den vertikale endringen med den horisontale endringen (stigning over løp) for å få skråningen.

Her er et eksempel for å illustrere trinnene ovenfor:

Anta at vi har to punkter på en linje, (1, 2) og (3, 6).

Vi kan beregne helningen til linjen som følger:

1. Identifiser to punkter på linjen: (1, 2) og (3, 6).
2. Velg ett punkt å være (x1, y1) og det andre skal være (x2, y2): La oss velge (1, 2) som (x1, y1) og (3, 6) som (x2, y2).
3. Finn den vertikale endringen (stigningen) ved å trekke fra y-koordinatene til de to punktene: 6 - 2 = 4.
4. Finn den horisontale endringen (løp) ved å trekke fra x-koordinatene til de to punktene: 3 - 1 = 2.
5. Del den vertikale endringen med den horisontale endringen (stigning over løp) for å få stigningen: 4 2 /2 XNUMX = XNUMX.

Derfor er stigningstallet 2. Dvs positiv stigning

Her er et annet eksempel for å illustrere trinnene ovenfor:

Anta at vi har to punkter på en linje, (3, 7) og (1, 10).

Vi kan beregne helningen til linjen som følger:

1. Identifiser to punkter på linjen: (3, 7) og (1, 10).
2. Velg ett punkt å være (x1, y1) og det andre skal være (x2, y2): La oss velge (3, 7) som (x1, y1) og (1, 10) som (x2, y2).
3. Finn den vertikale endringen (stigningen) ved å trekke fra y-koordinatene til de to punktene: 10 - 7 = 3.
4. Finn den horisontale endringen (løp) ved å trekke fra x-koordinatene til de to punktene: 1 – 3 = -2.
5. Del den vertikale endringen med den horisontale endringen (stigning over løp) for å få stigningen: 3 / -2 = -1.5.

Derfor er stigningstallet -1.5. Dvs negativ helning.

Her er noen tips for å unngå vanlige feil ved beregning av helning:

1. Forstå begrepet skråning: Helning beregnes som forholdet mellom endringen i y og endringen i x. En positiv helning indikerer en oppadgående trend, mens en negativ helning indikerer en nedadgående trend.
2. Dobbeltsjekk utregningene dine: Helningsberegninger kan være vanskelige, så det er viktig å dobbeltsjekke arbeidet ditt. Pass på at du har riktige verdier for endringen i y og endringen i x, og at du har delt dem riktig.
3. Benytte seg av Skråningskalkulator: Benytter seg av stigningskalkulator vil redusere feil betraktelig.

Her er en Skråningskalkulator som du kan bruke til å beregne helningen eller gradienten mellom to punkter i det kartesiske koordinatsystemet. 

Alt du trenger å gjøre når du bruker denne helningskalkulatoren er å legge inn verdien av x1, x2, y1, y2. 

Kalkulatoren vil automatisk beregne stigningen, linjens ligning, stigningen, løpeturen, avstanden mellom de to punktene og mange flere, du trenger ikke å blinke to ganger.

Skråning i geometri

Som vi sa tidligere, er Slope et mål på brattheten til en linje.

I trekanter kan helningen til en linje brukes til å beregne vinkelen mellom linjen og x-aksen

Helningen til en linje kan også brukes til å bestemme om to linjer er parallelle eller vinkelrette. To linjer er parallelle hvis de har samme helning, og de er vinkelrette hvis skråningene deres er negative resiproke av hverandre.

Virkelige applikasjoner

• Konstruksjon og arkitektur: Skråningsberegninger brukes ved utforming av ramper, trapper og tak. Hellingen til et tak, for eksempel, bestemmer hvor mye materiale som skal brukes til å bygge taket, samt ytelsen til taket.

• Fysikk: Helningsberegninger brukes i bevegelses- og kraftdiagrammer. For eksempel gir helningen til en posisjon-tid-graf hastigheten til et objekt.
• Økonomi: Helningsberegninger brukes for å forstå trender. For eksempel gir helningen til en etterspørselskurve hastigheten som etterspurt mengde endres med hensyn til pris.

Interaktive eksempler og øvelser

Denne delen tilbyr et sett med interaktive eksempler og øvelser for å styrke din forståelse av helningsberegninger.

1 problem:

Tenk på to punkter på et koordinatplan: ( A(2, 5) ) og ( B(4, 9) ). Beregn helningen til linjen som går gjennom disse punktene ved å bruke helningsformelen.

Løsning:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

2 problem:

Gitt to punkter ( C(3, 8) ) og ( D(7, 2) ), beregner helningen til linjen som går gjennom disse punktene ved å bruke helningsformelen.

Løsning:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

Scenarier fra det virkelige liv

Scenario 1: Rampe design

Tenk deg at du er en arkitekt som har i oppgave å designe en rullestolrampe for en bygningsinngang. Bruk helningsberegninger for å bestemme den optimale helningen for tilgjengelighet mens du overholder sikkerhetsstandarder.

Scenario 2: Økonomiske trender

Som finansanalytiker kan du analysere et sett med økonomiske datapunkter over tid og beregne stigningen for å identifisere trender. Hvordan kan denne informasjonen være verdifull for å lage informerte spådommer?

Nå er ballen din til å skyte, dele løsningene dine eller måtene du har brukt helningsberegninger på i livet ditt. Enten det er å redesigne hagen din, eller å drikke et glass vann.

Send gjerne inn dine løsninger eller del dine erfaringer.

konklusjonen

Vi har kommet til slutten av denne artikkelen, la oss oppsummere de viktigste punktene som er skrevet i denne artikkelen

Viktige punkter:

• Slope måler brattheten til en linje og er avgjørende i matematikk og ulike applikasjoner i den virkelige verden.
• Helningsformelen ( m = {y2 – y1} / {x2 – x1})
• De 4 typene bakker er; Positive, negative, null og udefinerte skråninger og hver formidler unik informasjon om egenskapene til en linje.
• I den virkelige verden brukes skråning i forskjellige felt som geografi, sivilingeniør, arkitektur og fysikk.