I matematik är en linjes lutning eller gradient ett tal som beskriver både riktningen och linjens branthet (skriker Wikipedia). Den beräknas genom att hitta förhållandet mellan förändringen i y-koordinaten och förändringen i x-koordinaten mellan två distinkta punkter på linjen.

Till exempel, om du har två punkter på en linje, (1,2) och (3,4), är lutningen på linjen mellan dem (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Vi kommer till det här snart nog.

Lutning är ett viktigt begrepp inom matematik och har många tillämpningar i den verkliga världen. Den kan till exempel användas för att beräkna ett objekts hastighet, ändringshastigheten för en funktion eller brantheten i en backe.

I den verkliga världen används lutning inom olika områden som geografi, civilingenjör, arkitektur och fysik. I geografi används lutning för att beskriva brantheten på markytan. Den används för att modellera ytavrinning, karakterisera livsmiljöer, klassificera jordar, bedöma potentialen för utveckling och modellera risken för skogsbränder.

Inom anläggningsteknik används lutning för att designa vägar, broar och andra strukturer. Det används för att bestämma det bästa sättet att slutföra ett projekt och konstruera rullstolsramper, vägar och trappor.

Inom arkitektur används lutning för att designa byggnader och strukturer som är stabila och säkra. Inom fysiken används lutning för att beskriva ett föremåls hastighet över tid.

Jag menar på tal om vikt...

Grundläggande begrepp för lutning

Lutningen beräknas som förhållandet mellan den vertikala förändringen (stigningen) och den horisontella förändringen (runt) mellan två punkter på en linje.

Lutningsformeln uttrycks som m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

I formeln ovan finns det två punkter, nu har varje punkt både motsvarande y-ventil och x-värde. Koordinaten för punkt 1 är (x1, y1) och den för punkt 2 är (x2, y2) som visas i figuren ovan.

Det finns fyra typer av backar: positiv, negativ, noll och odefinierad.

En positiv lutning indikerar att linjen ökar från vänster till höger, medan en negativ lutning indikerar att linjen minskar från vänster till höger.

En nolllutning indikerar att linjen är horisontell, medan en odefinierad lutning indikerar att linjen är vertikal.

Diagrammet nedan illustrerar de olika typerna av backar:

Beräkna lutning: Steg-för-steg-guide

I det här avsnittet kommer vi att gå igenom steg-för-steg-guiden om hur man beräknar lutning

Nedan följer en steg-för-steg-guide för hur man beräknar lutning:

1. Identifiera två punkter på linjen.
2. Välj en punkt att vara (x1, y1) och den andra att vara (x2, y2).
3. Hitta den vertikala förändringen (höjningen) genom att subtrahera y-koordinaterna för de två punkterna.
4. Hitta den horisontella förändringen (kör) genom att subtrahera x-koordinaterna för de två punkterna.
5. Dividera den vertikala förändringen med den horisontella förändringen (höjning över körning) för att få lutningen.

Här är ett exempel för att illustrera stegen ovan:

Antag att vi har två punkter på en linje, (1, 2) och (3, 6).

Vi kan beräkna linjens lutning enligt följande:

1. Identifiera två punkter på linjen: (1, 2) och (3, 6).
2. Välj en punkt att vara (x1, y1) och den andra att vara (x2, y2): Låt oss välja (1, 2) som (x1, y1) och (3, 6) som (x2, y2).
3. Hitta den vertikala förändringen (höjningen) genom att subtrahera y-koordinaterna för de två punkterna: 6 - 2 = 4.
4. Hitta den horisontella förändringen (kör) genom att subtrahera x-koordinaterna för de två punkterna: 3 - 1 = 2.
5. Dividera den vertikala förändringen med den horisontella förändringen (höjning över körning) för att få lutningen: 4 / 2 = 2.

Därför är lutningen 2. Dvs positiv lutning

Här är ett annat exempel för att illustrera stegen ovan:

Antag att vi har två punkter på en linje, (3, 7) och (1, 10).

Vi kan beräkna linjens lutning enligt följande:

1. Identifiera två punkter på linjen: (3, 7) och (1, 10).
2. Välj en punkt att vara (x1, y1) och den andra att vara (x2, y2): Låt oss välja (3, 7) som (x1, y1) och (1, 10) som (x2, y2).
3. Hitta den vertikala förändringen (höjningen) genom att subtrahera y-koordinaterna för de två punkterna: 10 - 7 = 3.
4. Hitta den horisontella förändringen (kör) genom att subtrahera x-koordinaterna för de två punkterna: 1 – 3 = -2.
5. Dividera den vertikala förändringen med den horisontella förändringen (höjning över körning) för att få lutningen: 3/-2 = -1.5.

Därför är lutningen -1.5. Dvs negativ lutning.

Här är några tips för att undvika vanliga misstag vid beräkning av lutning:

1. Förstå begreppet lutning: Lutningen beräknas som förhållandet mellan förändringen i y och förändringen i x. En positiv lutning indikerar en uppåtgående trend, medan en negativ lutning indikerar en nedåtgående trend.
2. Dubbelkolla dina beräkningar: Lutningsberäkningar kan vara knepiga, så det är viktigt att dubbelkolla ditt arbete. Se till att du har rätt värden för förändringen i y och förändringen i x, och att du har delat upp dem korrekt.
3. Använda Lutningsräknare: Att använda sig av lutningsräknare kommer att avsevärt minska felen.

Här är en Lutningsräknare som du kan använda för att beräkna lutningen eller gradienten mellan två punkter i det kartesiska koordinatsystemet. 

Allt du behöver göra när du använder denna lutningsräknare är att mata in värdet på x1, x2, y1, y2. 

Kalkylatorn kommer automatiskt att beräkna lutningen, linjens ekvation, stigningen, löpningen, avståndet mellan de två punkterna och många fler, du behöver inte blinka två gånger.

Lutning i geometri

Som vi sa tidigare är lutning ett mått på en linjes branthet.

I trianglar kan en linjes lutning användas för att beräkna vinkeln mellan linjen och x-axeln

En linjes lutning kan också användas för att avgöra om två linjer är parallella eller vinkelräta. Två linjer är parallella om de har samma lutning, och de är vinkelräta om deras sluttningar är negativa reciproka till varandra.

Verkliga applikationer

• Konstruktion och arkitektur: Lutningsberäkningar används vid design av ramper, trappor och tak. Taklutningen avgör till exempel hur mycket material som kommer att användas för att bygga taket samt takets prestanda.

• Fysik: Lutningsberäkningar används i rörelse- och kraftdiagram. Till exempel anger lutningen av en position-tid-graf ett objekts hastighet.
• Ekonomi: Lutningsberäkningar används för att förstå trender. Till exempel, lutningen på en efterfrågekurva ger den hastighet med vilken den efterfrågade kvantiteten förändras med avseende på pris.

Interaktiva exempel och övningar

Det här avsnittet erbjuder en uppsättning interaktiva exempel och övningar som hjälper dig att stärka din förståelse för lutningsberäkningar.

1 problem:

Betrakta två punkter på ett koordinatplan: ( A(2, 5) ) och ( B(4, 9) ). Beräkna lutningen på linjen som går genom dessa punkter med hjälp av lutningsformeln.

Lösning:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

2 problem:

Med tanke på två punkter ( C(3, 8) ) och ( D(7, 2) ), beräkna lutningen på linjen som går genom dessa punkter med hjälp av lutningsformeln.

Lösning:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

Verkliga scenarier

Scenario 1: Rampdesign

Föreställ dig att du är en arkitekt med uppgift att designa en rullstolsramp för en byggnadsingång. Använd lutningsberäkningar för att bestämma den optimala lutningen för tillgänglighet samtidigt som du följer säkerhetsstandarderna.

Scenario 2: Ekonomiska trender

Som finansanalytiker, analysera en uppsättning ekonomiska datapunkter över tid och beräkna lutningen för att identifiera trender. Hur kan denna information vara värdefull för att göra välgrundade förutsägelser?

Nu är bollen din att skjuta, dela dina lösningar eller sätt du har tillämpat lutningsberäkningar i ditt liv. Oavsett om det handlar om att göra om din trädgård eller att dricka ett glas vatten.

Skicka gärna in dina lösningar eller dela dina erfarenheter.

Slutsats

Vi har kommit till slutet av den här artikeln, låt oss sammanfatta de viktigaste punkterna som skrivs i den här artikeln

Nyckelord:

• Lutning mäter en linjes branthet och är avgörande i matematik och olika verkliga tillämpningar.
• Lutningsformeln ( m = {y2 – y1} / {x2 – x1})
• De 4 typerna av backar är; Positiva, negativa, noll och odefinierade lutningar och varje förmedlar unik information om egenskaperna hos en linje.
• I den verkliga världen används lutning inom olika områden som geografi, civilingenjör, arkitektur och fysik.