У математиці нахил або градієнт лінії — це число, яке описує як напрямок, так і крутину лінії (кричить Вікіпедія). Він обчислюється шляхом знаходження відношення зміни координати y до зміни координати x між двома різними точками на прямій.

Наприклад, якщо на прямій є дві точки (1,2) і (3,4), нахил лінії між ними дорівнює (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1. Ми дійдемо до цього досить скоро.

Нахил є важливим поняттям у математиці та має багато застосувань у реальному світі. Наприклад, його можна використовувати для обчислення швидкості об’єкта, швидкості зміни функції або крутизни пагорба.

У реальному світі нахил використовується в різних галузях, таких як географія, цивільне будівництво, архітектура та фізика. У географії нахил використовується для опису крутизни поверхні землі. Він використовується для моделювання поверхневого стоку, характеристики середовища існування, класифікації ґрунтів, оцінки потенціалу для розвитку та моделювання ризику лісових пожеж.

У цивільному будівництві ухил використовується для проектування доріг, мостів та інших споруд. Він використовується для визначення найкращого способу завершення проекту та будівництва пандусів для інвалідних візків, доріг і сходів.

В архітектурі ухил використовується для проектування стійких і безпечних будівель і споруд. У фізиці нахил використовується для опису швидкості об’єкта в часі.

Я маю на увазі важливість...

Основні поняття про нахил

Нахил обчислюється як відношення вертикальної зміни (підйому) до горизонтальної зміни (розбігу) між двома точками на лінії.

Формула нахилу виражається як m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

У наведеній вище формулі є дві точки, тепер кожна точка має як відповідний клапан y, так і значення x. Координата точки 1 дорівнює (x1, y1), а координата точки 2 – (x2, y2), як показано на малюнку вище.

Існує чотири типи нахилу: позитивний, негативний, нульовий і невизначений.

Додатний нахил вказує на те, що лінія збільшується зліва направо, тоді як від’ємний нахил вказує на те, що лінія зменшується зліва направо.

Нульовий нахил означає, що лінія горизонтальна, тоді як невизначений нахил вказує, що лінія вертикальна.

На діаграмі нижче показано різні типи схилів:

Розрахунок нахилу: покрокове керівництво

У цьому розділі ми покроково розглянемо, як обчислити нахил

Нижче наведено покрокову інструкцію щодо розрахунку нахилу:

1. Визначте дві точки на прямій.
2. Виберіть одну точку як (x1, y1), а іншу як (x2, y2).
3. Знайдіть вертикальну зміну (підйом), віднімаючи y-координати двох точок.
4. Знайдіть горизонтальну зміну (пробіг), віднімаючи x-координати двох точок.
5. Розділіть вертикальну зміну на горизонтальну зміну (підйом над пробігом), щоб отримати нахил.

Ось приклад для ілюстрації вищезазначених кроків:

Припустимо, що на прямій є дві точки (1, 2) і (3, 6).

Ми можемо обчислити нахил лінії таким чином:

1. Визначте дві точки на прямій: (1, 2) і (3, 6).
2. Виберіть одну точку як (x1, y1), а іншу як (x2, y2): Давайте виберемо (1, 2) як (x1, y1) і (3, 6) як (x2, y2).
3. Знайдіть вертикальну зміну (підйом), віднімаючи y-координати двох точок: 6 – 2 = 4.
4. Знайдіть горизонтальну зміну (пробіг), віднімаючи x-координати двох точок: 3 – 1 = 2.
5. Розділіть вертикальну зміну на горизонтальну зміну (підйом над пробігом), щоб отримати нахил: 4 / 2 = 2.

Отже, нахил дорівнює 2. Тобто позитивний нахил

Ось ще один приклад для ілюстрації вищезазначених кроків:

Припустимо, що на прямій є дві точки (3, 7) і (1, 10).

Ми можемо обчислити нахил лінії таким чином:

1. Визначте дві точки на прямій: (3, 7) і (1, 10).
2. Виберіть одну точку як (x1, y1), а іншу як (x2, y2): Давайте виберемо (3, 7) як (x1, y1) і (1, 10) як (x2, y2).
3. Знайдіть вертикальну зміну (підйом), віднімаючи y-координати двох точок: 10 – 7 = 3.
4. Знайдіть горизонтальну зміну (пробіг), віднімаючи x-координати двох точок: 1 – 3 = -2.
5. Розділіть вертикальну зміну на горизонтальну зміну (підйом над пробігом), щоб отримати нахил: 3 / -2 = -1.5.

Отже, нахил дорівнює -1.5. Тобто негативний нахил.

Ось кілька порад, щоб уникнути типових помилок під час розрахунку нахилу:

1. Розуміти поняття нахилу: Нахил обчислюється як відношення зміни y до зміни x. Додатний нахил вказує на висхідну тенденцію, тоді як від’ємний нахил вказує на тенденцію до зниження.
2. Ще раз перевірте свої розрахунки: Обчислення нахилу може бути складним, тому важливо ще раз перевірити свою роботу. Переконайтеся, що у вас є правильні значення для зміни y та зміни x, і що ви правильно їх розділили.
3. Використовувати Калькулятор нахилу: Використання калькулятор ухилу значно зменшить кількість помилок.

Ось Калькулятор нахилу який можна використовувати для обчислення нахилу або градієнта між двома точками в декартовій системі координат. 

Все, що вам потрібно зробити, використовуючи цей калькулятор нахилу, це ввести значення x1, x2, y1, y2. 

Калькулятор автоматично обчислить нахил, рівняння лінії, підйом, пробіг, відстань між двома точками та багато іншого, вам не потрібно моргати двічі.

Нахил в геометрії

Як ми вже говорили раніше, нахил є мірою крутизни лінії.

У трикутниках нахил лінії можна використовувати для обчислення кута між лінією та віссю x

Нахил лінії також можна використовувати, щоб визначити, паралельні чи перпендикулярні дві лінії. Дві прямі паралельні, якщо вони мають однаковий нахил, і перпендикулярні, якщо їхні нахили є негативними величинами, зворотними одна одній.

Програми реального світу

• Будівництво та архітектура: Розрахунок ухилу використовується при проектуванні пандусів, сходів і дахів. Нахил даху, наприклад, визначає, скільки матеріалу буде використано для будівництва даху, а також характеристики даху.

• Фізика: Розрахунок нахилу використовується в діаграмах руху та сил. Наприклад, нахил графіка положення-час визначає швидкість об’єкта.
• Економіка: обчислення нахилу використовуються для розуміння тенденцій. Наприклад, нахил кривої попиту дає швидкість, з якою кількість попиту змінюється відносно ціни.

Інтерактивні приклади та вправи

Цей розділ пропонує набір інтерактивних прикладів і вправ, які допоможуть закріпити ваше розуміння обчислення нахилу.

1 завдання:

Розглянемо дві точки на координатній площині: ( A(2, 5) ) і ( B(4, 9) ). Обчисліть нахил прямої, що проходить через ці точки, використовуючи формулу нахилу.

Рішення:

m = (9 – 5) / (4 – 2) = (4)/(2) = 2

2 завдання:

Дано дві точки ( C(3, 8) ) і ( D(7, 2) ), обчисліть нахил прямої, що проходить через ці точки, використовуючи формулу нахилу.

Рішення:

m = (2 – 8) / (7 – 3) = (-6)/(4) = -1.5

Реальні сценарії

Сценарій 1: Дизайн рампи

Уявіть, що ви архітектор, якому доручено спроектувати пандус для інвалідних візків для входу в будівлю. Використовуйте розрахунки нахилу, щоб визначити оптимальний нахил для доступності, дотримуючись стандартів безпеки.

Сценарій 2: Економічні тенденції

Як фінансовий аналітик аналізуйте набір точок економічних даних у часі та обчислюйте нахил, щоб визначити тенденції. Наскільки ця інформація може бути цінною для створення обґрунтованих прогнозів?

Тепер ви можете кидати м’яч. Поділіться своїми рішеннями або способами, якими ви застосовували обчислення нахилу у своєму житті. Будь то перепланування саду чи випивання склянки води.

Не соромтеся надсилати свої рішення або ділитися своїм досвідом.

Висновок

Ми підійшли до кінця цієї статті, давайте повторимо ключові моменти, написані в цій статті

Ключові моменти:

• Нахил вимірює крутизну лінії та має вирішальне значення в математиці та різних прикладних програмах реального світу.
• Формула нахилу ( m = {y2 – y1} / {x2 – x1} )
• 4 типи схилів: Позитивний, негативний, нульовий і невизначений нахили, кожен з яких передає унікальну інформацію про характеристики лінії.
• У реальному світі нахил використовується в різних галузях, таких як географія, цивільне будівництво, архітектура та фізика.